３点を通る平面の方程式を行列式で表す

行列式について勉強していたのですが、分からない部分があったので質問させてください。

一直線上にない３点　（a,b,c） (d,e,f) (g,h,i) を通る平面の方程式を求める、という問題です。

まず求める平面の方程式を
　　 Ax + By + Cz + D = 0　…(1)
と置きます。

この方程式は上の３点を通るので
　　 Aa + Bb + Cc + D = 0　…(2)
Ad + Be + Cf + D = 0　…(3)
Ag + Bh + Ci + D = 0　…(4)
の３条件を満たします。

上の４つの式について、A～Dは全て０ではない、つまりこれは非自明な解をもちます。

したがって行列式
　　　　　｜x y z 1｜
　　　　　｜a b c 1｜
　　　　　｜d e f 1｜
　　　　　｜g h i 1｜
が０となります。


ここまでは分かったのですが、教科書ではこの（行列式）＝０　が求める平面の方程式と述べています。

しかし（行列式）＝０　はあくまで(1)～(4)が非自明解を持つ条件なので、そうなる理由が分かりません。
(1)～(4)の連立方程式を解き、その非自明な解（A,B,C,D）を(1)に代入した結果が求める方程式だと思うのですが…


分かる方いましたら回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/31 14:50

(1)～(4) が非自明解 A,B,C,D を持つ

⇔ (a,b,c),(d,e,f),(g,h,i,),(x,y,z) の４点を含む平面が存在する

なので、その必要十分条件は、
(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i,) と同一平面上にある (x,y,z) の範囲を表します。
それが、求めるべき平面の式です。

その条件を、再度 (1) に代入してしまったら、恒等式 0 = 0 になってしまいます。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。

なるほど、なんとなく分かってきました。
ですが少し頭の整理がついていないのでもう少しじっくり考えてみます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/02 08:46

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/31 14:53

点に名前がないと書きにくいので座標原点を O, 与えられた 3点をそれぞれ P, Q, R とし, 平面PQR 上の任意の点を X(x, y, z) とします.

このとき「X が平面PQR 上にある」ことから位置ベクトルOX は OP, OQ, OR を使って書け, その式をじっと見るとまさに「その行列式の値が 0 となる」ことがわかります. 逆に, その行列式が 0 になるという条件から OX を OP, OQ, OR で書くと「X が平面PQR 上にある」という式になります.

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。

なんとなくイメージがつかめてきました。
他にも円の方程式などを求める問題があるので、ゆっくり考えてみたいと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/02 08:48