df=∂f/∂x・dx＋∂f/∂y・dyは近似式だと載ってましたが、導出のどこで近似を用いているので

df=∂f/∂x・dx＋∂f/∂y・dyは近似式だと載ってましたが、導出のどこで近似を用いているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 全微分の数式についてです。

    補足日時：2021/01/26 18:01

No.5 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2021/01/27 18:40

同じような質問ばっかりしてるなあ。

　別の質問にもあったように微分（全微分）はなかなか難しい概念で、厳密な議論は初等的にはできない。大学教養課程の平均的な教科書・参考書を読んでもおそらくもわからない。本当に理解したいのなら、大学で数学専攻の人が読むような解析学の本と格闘するしかないと思う。
　でないと、そのうち
　　dy/dx の dx と ∫f(x) dx の dx って同じものですか？
などという質問をすることになる。

この回答へのお礼

質問するのは自由なので。

お礼日時：2021/01/27 18:53

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/26 22:43

df = ∂f/∂x・dx + ∂f/∂y・dy は、

イコールが厳密に成り立つ式であって
近似式ではありません。
自力で本の間違いが見つけられないなら、
最初から信用できる本を読みましょう。

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/01/26 19:07

数学者ではありませんが，微分量というのは大きさがゼロの極限，つまり１に比べたときに無視していい（近似ではなく）量ですから，その全微分は近似でもなんでもありません。

この式の左辺の大きさはゼロ，右辺とくると，０を０で割って０を掛け算しているという始末ですよ。ま，それを流用する人にとっては近似と捉える場合もあるでしょうけど。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/01/26 19:00

テイラー展開すると

f(x+h,t+k)=f(x,y)+(h∂/∂x+k∂/∂y)f(x+θh,y+θk) (0<θ<1)
となる。

θh≒0, θk≒0 とすれば
(h∂/∂x+k∂/∂y)f(x+θh,y+θk)≒(h∂/∂x+k∂/∂y)f(x,y)
となり、
df=f(x+h,t+k)-f(x,y) , h=dx , k=dy
とすれば与式を得る。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/01/26 18:27

私が大学の時に使っていた数学の本には質問文の式は「全微分の定義式」と言う形で載っていました(∴近似式ではありません)。

ただ質問者様が読まれた本にどう書かれていたのかを見ないとはっきりした事は言えませんが、dxやdf等の受け止め方によっては「近似式」と言う表現もあながち間違ってはいないと思います。