0.9999の循環少数と1は等しいことが証明されていますか？？だとすると無限小が存在することと矛盾

Question

0.9999の循環少数と1は等しいことが証明されていますか？？

だとすると無限小が存在することと矛盾すると思うのですが(無限小=1－0.9999循環少数)

masterkoto · Accepted Answer

dxとあらゆる実数より小さい存在って違うんですか？
いまいち違いが理解できません。

＞＞＞dx　は
xの変化量Δxに関して
この幅をどこまでも小さくしていったときに
Lim[Δx→0] Δx＝dx 
というようなことですよね
つまりは　限りなく細かく分割　というよな意味合いです
この分割幅Δxをとても狭い（小さい）ものにすることを指して
無限小　
という使われ方はとても多いようです
（この意味での無限小は　数が小さいというよりはとても細かい　という意味合いに感じませんか・・・）

一方
あらゆる数より小さな存在としての「無限小」
も考えられています
考え方には複数の流儀があるようで
実数の体系には０でない無限小は存在しないという立場のものや
超実数なるものを導入して「無限小」なるものを考える体系もあります・・・

ありものがたり · Answer

No.12 の「証明」は、
９．９９９９…  -  ０．９９９９９…  =  0  であることを使っているが、
０．９９９９９…  =  1  かどうかもまだ示されていない時点で
そんな計算が正当化されるのか？

konjii · Answer

ｓ＝０．９９９９９・・・・①
１０ｓ＝９．９９９９・・・・②
②－①＝９ｓ＝９
ｓ＝１
今、証明しました。

finalbento · Answer

まず「無限小＝1-0.9999…」と言う認識自体が間違っていると言う思います。1と0.9999…は正確に等しいわけですから、両者の差は無限小ではなくゼロです。

mide · Answer

> 0.9999の循環少数と1は等しいことが証明されていますか？？

はい，されていますし初歩の数学でも証明できます。詳しくはたとえば

https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

Wikipediaの全ての記事が信用できるわけではありませんが，この記事は「秀逸な記事」にも選ばれています，念のため。

> 無限小=1－0.9999循環少数

「無限小」とは無限に小さく 0 でない数を表していると思いますが，とすればこれは違います。

0 = 1－0.9999循環少数

です。だから矛盾しません。

小数が表しているのは（小数点以下），各桁aiについて

a1/10 + a2/100 + a3/1000 ...

という多項式で表される値です。全ての桁が9で無限に続く場合，その値は1であってそれ以外ではないのはすでに証明されているとおりです。

つまり1という数は「1」の他に「0.999...」という循環小数の表現の値でもあるのです。他にも1/1，2/2，3/3といういろいろな表現の値でもあります。

私たちはあまりに小数に慣れているため，小数が数そのもので小数表現が違えば違う数値のように錯覚しがちですが，上記のように少数は多項式を使った数値の表し方をコンパクトに記述した形式にすぎません。表現が違えば値が違うというわけではないのです。

masterkoto · Answer

#8
ｄｘの補足
もう少し付け足すと
dxはΔxを半分に分割し
それをさらに半分に
さらに　半分に
・・・
ということですよね
でも、この分割は際限なく無限に行えるはずです
この無限に（半分こ）を続けられるというところに力点があって
無限に小さい→無限小　というのがdxです

masterkoto · Answer

#5補足
現役退いて長いですが
実数の範囲では
1-0.9999・・・
はいかなる正の有理数よりも小さい値のはず
ゆえに　1-0.9999・・・=０または無限小
ですが　実数範囲では無限小は０なんで
ゆえに1-0.99999・・・＝０
よって差がないので
1=0.999999・・・　
ということであったと記憶しています

ちなみに　無限小って場面場面で意味が複数に取れますよ
例えば　xy平面の曲線グラフの接線について
dy/dx を考える時　dxが無限小です

これとは別であらゆる実数より小さい存在としての無限小
という意味でつかわれることもありますが
こちらの登場頻度は少ないのでは・・・

銀鱗 · Answer

「限りなく等しい値に近い」というだけで、等しくはないよ。

たとえば、No.3の回答者さんは1/3を10進数で示したとき0.33の循環小数になると仮定しています。
それを3倍したら0.99の循環小数になると言い表していますが、残念ながら0.99の循環小数にならず1になります。
0.33の循環小数が0.99の循環小数になると仮定しての証明ですので、残念ながらその仮定が間違っているという事。

No.2の方が示す数式、
　Lim[n→∞]Sn＝1-0=1　
も、実は無限大の先まで見なきゃいけないという前提を忘れているので証明としては間違い。
到達できない点を存在するかのように表現しているんだ。

この手の話は、もうちょっと突っ込んで考えなきゃいけないので4000文字程度では収まり切りません。

・・・
話は変わりますが、「飛ぶ矢は届かず」といった ”ゼノンのパラドックス” をご存じでしょうか。
「飛んでいる矢は瞬間的には速度はゼロで停止している」
「停止しているので矢は連続した時間の中で移動できない」
「でも矢は実際には飛んで移動する」
これ、数学的には間違っているんだ。
微分という考え方を用いると停止している矢は速度を持っていることが分かるだろ？だから進むことができる。

他の方々の証明も同じ。
論点がちょっとずれているんです。

masterkoto · Answer

1-0.9999・・・　
が無限小を意味してはいないということですよね

２つの数
１と0.9999・・・
の差を取れという意味でしかないということ

（実際に試みれば
差が０でになるから
1と0.99999は等しい
ということにしかならないですよね）

ありものがたり · Answer

はい、比較的簡単に計算で示すことができます。
標準実数論だけでなく、無限小の存在を含む超実数論においても、
0.9999の循環少数と1は等しく、その差は無限小でなく 0 です。

0.9999の循環少数と1は等しいことが証明されていますか？？ だとすると無限小が存在することと矛盾

dxとあらゆる実数より小さい存在って違うんですか？

No.12 の「証明」は、

ｓ＝０．９９９９９・・・・①

まず「無限小＝1-0.9999…」と言う認識自体が間違っていると言う思います。