ふと思った疑問なんですが、

加速度を時間で積分すると速度になりますよね。
さらにそれを時間で積分すると位置になる。

では位置を時間積分すると表れるものは一体何を表しているのでしょうか?
単位だけならM・Sになって時間と距離をかけた物になりますが、これがよく分かりません。

一般に3回以上時間積分を繰り返して得られるものは数式で表れるだけなのでしょうか?
それとも物理的な概念が含まれているのでしょうか?

暇なときでよいので、よろしかったら教えてください。

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A 回答 (2件)

 


・加速度 ⇒「速度」の時間あたりの変化量 ⇒ 積分で「速度」

・速度 ⇒「位置」の時間あたりの変化量 ⇒ 積分で「位置」

・位置 ⇒ 何かの時間あたりの変化量ではない ⇒ 積分しても無意味

 このように,時間積分をして意味があるものが得られるのは,時間当たりの変化量を積分する場合だけだと思います。位置は何かの変化量ではないため,その時間積分は意味がないと思います。
 
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この回答へのお礼

変化しないものを積分しても意味ないですね。
どうもありがとうございました。納得できました。

お礼日時:2001/08/23 16:38

物理の問題は、座標、速度、加速度で、解決できますので、座標を時間で積分しても意味はないと思います。



しかし、加速度を時間で微分したもの(加加速度?)は、エレベータなどの設計に応用されているようです。以前のエレベータは加速度が変化するので大変乗り心地悪く、そのためにエレベータには乗らない人もいるようでした。特に下りのエレベータは思っただけでもズーンときます。

では、
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この回答へのお礼

加加速度ですか、そうするとその変化量の加加加速度の
概念も考えられます。でもあんまり細かくしてもそれほどの意味はないですね。

どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/08/23 16:47

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Q加速度の積分

ふと思ったのですが

速度を積分すると
移動した距離(スタート地点からの位置)が
わかると思うのですが

加速度を積分すると
何の速度がわかるのですか?

ゴールとスタート地点での速度の差分なんでしょうか?
それだと、途中の経路(早くなったり、遅くなったり)は加味されない
もしくは、スタートとゴールがたまたま同じ加速度だったら
0になってしまう気がします

それともスタートからゴールまでの全ての速度を
足し合わせた物が出てくるのでしょうか?

ともかく、時間(時刻と時刻の間隔)と加速度の積が
どういうものか想像できません

よろしくお願いします

簡単のため、開始時間と開始場所を0としてます
あとすべてが正の値で起こるとしてください

Aベストアンサー

>ともかく、時間(時刻と時刻の間隔)と加速度の積がどういうものか想像できません

加速度a(t)の定義を、もう一度振り返ってみましょう。
時刻t1のときの速度がv1,時刻t2のときの速度がv2だったとすると
t2-t1の区間での、平均の加速度aは
 a=(v2-v1)/(t2-t1)
でした。ここで、t2のとりかたを、t1に近くなるように取り直すことを考えてみます。言い換えれば、t2-t1(この時間を、以下Δtとします)を、t2を変えることで、限りなく0に近い時間とする、いうことです。Δt→0
v2も、これに伴って変わってきます。v2-v1をΔvと書けば
 a=lim[Δt→0]Δv/Δt
となります。この極限値を、時刻t1における、瞬間の加速度a(t1)と呼ぶのでした。
これを、改めて
 a=(v2-v1)/(t2-t1)
に代入し直してみると
 a(t1)=(v2-v1)/Δt
∴ Δv=a(t1)・Δt    式(1)
右辺が、「時間と加速度の積」ですから、それは、Δv、つまり速度の変化を表していることになります。
もうすこし具体的に言えば
 時刻t1の直後の、ごく短い時間内に起こった速度の変化、"v1になった瞬間から、その直後のΔtの時間内に、速度がどのくらい変化したか"を表している、と解釈できます。

本題に戻ります。
 ∫[t1..t2]a(t)・dt
 [ ]は、積分範囲の意味です。
積分の中身は
 a(t)・dt
ここで、dtは、極く短い時間を表していますから、式(1)のΔtと、同じ意味です。
ということは、
 a(t)・dt
は、時間dt内に起こった、速度の"変化" (どのくらい速度が変化したか)を表していることになります。
積分という操作は、これ(速度の変化量)を、足し合わせていく作業です。具体的にイメージしてみましょう。時刻t1,t1+Δt,t1+2・Δt,t1+3・Δt,… t2-Δt
の各瞬間の速度の"変化量"(各瞬間以降のΔtの短い時間内での変化量)は、それぞれ
 a(t1)・Δt,a(t1+Δt)・Δt,a(t1+2・Δt)・Δt,a(t1+3・Δt)・Δt,…
ですから、積分は、これらをすべて、足し合わせたものということになります。
注意深く見てもらえばわかりますように、各区間での加速度は、異なっています。各瞬間瞬間での、加速度を使って、計算しているのです。こうして、積分結果は、t1における速度v1から、t2-t1の時間内に起こった、速度の変化量を、精確に表現していることになります。

簡単に言ってしまえば
>加速度を積分すると何の速度がわかるのですか?
と問われたら、速度がわかるのではなく
>ゴールとスタート地点での速度の"差分"
と答えることになります。
しかし、それは、"t2での速度-t1の速度"という、単純な意味ではありません。
>途中の経路(早くなったり、遅くなったり)は加味されない
のではなく、上記の通り、途中の変化の全てを、きちんと考慮した、極めて精確な差分を与えているのです。
当然、
>スタートとゴールがたまたま同じ加速度だったら0になってしまう気がします
ということについても、そうなることもあれば、0にはならないこともある、ということになります。


(おまけ)
>速度を積分すると移動した距離(スタート地点からの位置)がわかると思うのですが

これは、正しくは、
 速度を積分すると、移動した"変位"がわかる。
と言うべきです。
なお、移動した変位とは、スタート地点から、どの方向に、どれだけの距離だけ、"位置がずれたか"を表す量です。

>ともかく、時間(時刻と時刻の間隔)と加速度の積がどういうものか想像できません

加速度a(t)の定義を、もう一度振り返ってみましょう。
時刻t1のときの速度がv1,時刻t2のときの速度がv2だったとすると
t2-t1の区間での、平均の加速度aは
 a=(v2-v1)/(t2-t1)
でした。ここで、t2のとりかたを、t1に近くなるように取り直すことを考えてみます。言い換えれば、t2-t1(この時間を、以下Δtとします)を、t2を変えることで、限りなく0に近い時間とする、いうことです。Δt→0
v2も、これ...続きを読む

Q加速度を積分すると速度・・・

加速度aを時間tで積分すると速度が出てきて、その速度vを時間tで積分すると位置が出てきますよね。
そのときの初期条件の設定の仕方はがわかりません。
詳しく教えてください。

Aベストアンサー

加速度aを時間tで積分すると積分定数が出てきますよね。それが初速度となります。
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例えば、ある物体が時刻t=0(s)のときの加速度a=6(m/s^2)、初速度v=10(m/s)、位置x=1(m)の状態のとき時刻tにおける速度、位置を求めよ、という問題があったとします。

vはaを時間tで積分してv=6t+C(Cは積分定数です)となります。
このときのCが初速度10となります。
なので時刻tにおける物体の速度vはv=6t+10(m/s)となります。

次にさきほど求めたvを時間tで積分して、時刻tにおける物体の位置を求めます。
v=6t+10を時間tで積分するとx=3t^2+10t+C’(C’は積分定数です)となります。
このときのC’が物体がはじめにあった位置1となります。
なので時刻tにおける物体の位置xはx=3t^2+10t+1(m)となります。

Qヨー加速度と加速度との関係

質問します。
ヨー加速度を用いて物体の方向を知ることが出来ますが、これを加速度を
用いて行ないたいと思ってます。
条件がよければある程度の値はでますが
もし、ヨー加速度と通常の加速度との関係などありましたら
是非教えてください。
ちなみに、加速度で角度を算出する際は

θ=a/v(180/π)で算出してます。

Aベストアンサー

 補足、ありがとうございました。なるほど、XとYの加速度ですか。この御質問は、以前の加速度から速度を求める御質問の続編?だったんですね。

 しかしそぅしますと・・・・前後と横加速度は、重心位置に発生する加速度を検出するのが常套なので、そぅ考えますとやはりヨーイング運動そのものには関係ないのではないかと思います(物体がXYZ何れの方向にも移動しない状態でZ軸~上下方向の軸~を中心としてスピン状態にあるとしますと、ヨー角速度或いはヨー角加速度はムチャクチャ出てますが、各軸方向の加速度は発生しません。よって、各軸方向の加速度だけでは、ヨー関連のデータを類推するのは難しいのでは・・・・?)。
 やはり軸方向の加速度からヨー角加速度を求めようとする場合、重心点とそこから離れた点2ヶ所での横加速度(Y方向の加速度)の検出が必要なんではないか?と思います。

・・・・とゆぅ様な回答で如何でしょう?何か、まだワタシが勘違いしているところがある様な気もしますが・・・・。

 さてところで、ついでに蛇足です。

 貴殿が測定されている物体は、回転方向にはヨーイング(Z軸周りの回転運動)しかしない運動物体なのでしょうか?
 前回の、『加速度から速度』の御質問の時は、勝手に車両の運動と決め付けて回答してしまいましたが、もし車両運動の計測であれば、ローリング(X軸周りの回転運動)が横加速度の検出データに及ぼす影響を、事前に検討されておいた方がよい様に思います。
 加速度の検出はいわゆる加速度センサを用いるのではないかと思われますが、ロール致しますと、その傾斜角分加速度センサが傾いてしまい、結果、横加速度が大き目に出ます。
 自動車の話になってしまいますが、このロールによる横加速度の増加分は、経験的には無視できないほど大きいです。
 勿論、この話も、貴殿がどれほどの精度で横加速度を測定したいか?によって違って来ますが・・・・尚、ピッチング(Y軸周りの回転運動)が前後加速度に及ぼす影響は、(やはりクルマの話になってしまいますが)ホイールベースが十分に長いので、それほど大きな影響は出ない様です。

 補足、ありがとうございました。なるほど、XとYの加速度ですか。この御質問は、以前の加速度から速度を求める御質問の続編?だったんですね。

 しかしそぅしますと・・・・前後と横加速度は、重心位置に発生する加速度を検出するのが常套なので、そぅ考えますとやはりヨーイング運動そのものには関係ないのではないかと思います(物体がXYZ何れの方向にも移動しない状態でZ軸~上下方向の軸~を中心としてスピン状態にあるとしますと、ヨー角速度或いはヨー角加速度はムチャクチャ出てますが、各軸方向...続きを読む

Qホドグラフ 法線加速度 接線加速度

ホドグラフと法線加速度、接線加速度についての質問です。

運動中の質点について、
各速度ベクトルをある一つの点に平行移動すると、速度ベクトルの先端は一つの曲線を描く。これを与えられた曲線のホドグラフという。加速度の方向はホドグラフの接線と一致するが、経路の接線とは関係ない。
これは、質点が一様な速さでないときでもできたホドグラフにおいて速度ベクトルと加速度の向きは垂直ってことですよね。

しかし、同様に質点が一様な速さでないとし、運動経路の2点を極めて近くとったとき、(A,Bとする)微小部分ABはA,Bを通る微小円弧とみなせられる。すると、円運動なので円の中心向きつまり速度の向きと垂直な向きに加速度ができる。しかし、A,Bの間でも速度が変化しているので経路の接線方向にも加速度成分ができる。すると、2つの加速度成分の合成方向に加速度ができる。

この2つの理論が矛盾しているような気がして分かりません。
経路の接線方向についてとか、最終的な加速度の向きとか、、、、、、
分かる方解答よろしくお願いします。なるべく早めに書いていただけると幸いです。

Aベストアンサー

>これは、質点が一様な速さでないときでもできたホドグラフにおいて速度ベクトルと加速度の向きは垂直ってことですよね。

いいえ。速度ベクトルが同じ長さで回転していなければ、垂直にはなりません。
なんでもいいですが、とりあえず楕円でも描いてみれば、接線と動径が直交しないのはわかるのでは?

等速度の場合は曲線にならないので接線が定義できませんね。例外扱いでしょう。

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。


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