なぜ関数空間においては (f(x),g(x)) := ∫_[-π,π] f(x)g(x) dx とで

なぜ関数空間においては
(f(x),g(x)) := ∫_[-π,π] f(x)g(x) dx
とできるのでしょうか？
このようにおける証明が欲しいです。

ノルムとか関係あるでしょうか？

No.4 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/03/09 08:55

No.3 です。

別に，その積分をユークリッド幾何からの拡張で定義する必要もありません。例えば斉次の波動方程式を変数分離で解こうとすると，固有関数と固有値が求められます。そしてFourierが考えたように固有関数列で解を級数表示しようとして，波動方程式に固有関数を乗じて定義域で積分すると，演繹的に直交性を証明できるわけだ。これを使えば，固有関数列の係数を個々に求められることにFourierは気づいたんだろうねぇ。これが直角座標でも極座標でも使える。ベッセル関数も直交するってね。
　この方程式に固有関数を乗じて積分するというところを，無理にでも物理の世界の言葉で書くとすれば，それは仮想仕事を求めているわけ。元の問題にポテンシャルが定義できて変分問題として表現できるときの第一変分が仮想仕事。これがとても便利だと思った人なら自動的にFourierのような気付きができるってわけ。

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/03/09 08:47

ユークリッド幾何の範囲のベクトル場の内積は，そのベクトルの成分をu_iなどと表すと，(u,v)=Σ_{i=1}^3 u_i v_i です。

では，これを線形代数のN次元のベクトル場に拡張すると(u,v)=Σ_{i=1}^N u_i v_i です。これは，対象が離散的な成分を持つから総和になっているわけ。では，無限次元のベクトル場なら(u,v)=Σ_{i=1}^∞ u_i v_i です。これを関数空間に置き換えようとすると，無限次元ということが稠密な実数空間に置き換えられるわけですね。なら(u,v)=Σ_{定義域上} u(x) v(x) と拡張定義ができるわけですが，定義域における総和っ Σ_{定義域上} てのは積分 ∫_{定義域上} dx のことだから，ご質問文のようなこと<u,v>=∫_{定義域上} dx u(x) v(x) になるわけです。内積の記号は変更しました。ただし，もちろんご質問文のは，ある特殊な定義域を対象としただけの場合のものです。一般的ではありません。例えば極座標なら<u,v>=∫_{定義域上} u(r,θ) v(r,θ) r dr dθ になります。ですから最も一般的な内積は<u,v>=∫_{定義域上} w(x) u(x) v(x) dx のように重み w(x) までを含みます。そして関数の直交性を，ユークリッド幾何の言葉を流用して，この内積がゼロになる関数同士を直交関数と呼ぶわけで，ご質問文にあるように，自分自身の内積をノルムと呼ぶわけです。例えば直角座標の代表的な直交関数は三角関数。極座標だとベッセル関数。球座標だとルジャンドルの多項式ってことになって，そういう関数を固有関数と呼ぶことがあるわけ。Fourier 解析というのは，その固有関数と直交性を利用した理屈ってわけだ。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/09 00:02

その

(f(x),g(x))
ってなんなのさ.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/08 15:51

言い方が変です。

関数空間(集合)における点(元)の極限を考えるとき、位相を導入
する必要があります。その一つが上記の内積が距離となって極限
を取り扱うことができます。