ベクトルだと内積のルートはベクトルの大きさ（長さ）になりますが、ベクトルの大きさに相当のものを関数で

ベクトルだと内積のルートはベクトルの大きさ（長さ）になりますが、ベクトルの大きさに相当のものを関数で求めようとすると、積分をしてルートをとったもの|| f(x) ||になります。
すいません。ここに関してもう少しわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

まず、ベクトルだと内積のルートはベクトルの大きさ（長さ）になりますとのことですが、
なぜ内積lallblcosθをルートにするとベクトルの大きさになるのでしょうか？
lallblcosθの時点でベクトルの大きさではないのでしょうか？

後今更ですいません。関数と関数を掛けて積分したらなぜ内積（大きさ）が求まるとわかったのでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/24 22:40

一般のベクトル空間について、内積の定義は↓のようなものです。

https://eman-physics.net/math/linear13.html
定義域 D を固定して積分 ∫[D] f(x)f(x) dx が収束するような
実関数の集合は、実ベクトル空間になりますが、この空間上で
<f.g> = ∫[D] f(x)g(x) dx で定義した <f,g> が上記の
内積の定義を満たすことは、やってみれば確認できるでしょう。

同じベクトルどうしの内積の平方根が、なぜベクトルの長さかというと、
それが「ベクトルの長さ」というものの定義だからとしか言えません。
質問文を読むと、どうやら内積よりも先に長さが定義されていると
誤解しているようですが、間違っています。

内積をそなえたベクトル空間に、｜f｜ = √<f,f> によって長さを導入するのだし、
<f,g> = ｜f｜｜g｜cosθ という式は、コーシーシュワルツの不等式
<f,g>^2 = ｜f｜^2｜g｜^2 によって立てることができ、この式によって定義された
θ を f と g の「なす角」と呼ぶようにするのです。
内積の定義が、一番最初にあります。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/03/24 21:59

「内積のルートはベクトルの大きさに」と言うのは「同じベクトルの内積の平方根はそのベクトルの大きさ」と言う意味のはずですが、どうしてそうなるのかは実際に計算してみればすぐに分かります。

aをベクトルとして

a･a=|a||a|cos0=(|a|)^2

∴√(a･a)=|a|

同じベクトルの内積を取った

|a||a|cos0

の時点では見ての通り「aの大きさの二乗」の状態なので、ベクトルaの大きさにするためにはその平方根を取る必要があります。

この回答へのお礼

ありがとうこざいます。
では、ノルムは大きさを表すため
√a・a=|a|=||a||と出来るでしょうか？

お礼日時：2021/03/25 02:15