(2+√3)^n＝an+bn√3

(2+√3)^n＝an+bn√3でan+1とbn+1をanとbnをもちいてそれぞれ表す方法を教えてください。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/03/29 17:52

(2+√3)^n＝a[n]+b[n]√3

(2+√3)^(n+1)=a[n+1]+b[n+1]√3 …(1)

(2+√3)(2+√3)^n＝(2+√3)(a[n]+b[n]√3)
=2a[n]+3b[n]+(a[n]+2b[n])√3 …(2)

(1),(2)より、
a[n+1]=2a[n]+3b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/30 09:24

a[n], b[n] に何か制限を設けないと、

(2+√3)^n = a[n]+b[n]√3 だけでは a[n], b[n] が決まらないので
a[n], b[n] を用いて a[n+1], b[n+1] を表すことはできない。

例えば、「an,bnは有理数」とかの条件を付加するとよいと思う。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/31 10:51

数学的帰納法から、

(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3・・①
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3・・②
①＋②＝(2+√3)^n＋(2ー√3)^n＝２a[n]
a[n]＝｛(2+√3)^n+(2ー√3)^n｝/2
a[n+1]＝｛(2+√3)(2+√3)^n+(2-√3)(2ー√3)^n｝/2
=｛2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n+2(2ー√3)^n-√3(2-√3)^n｝/2
=2a[n]+ｂ[n]/3
①－➁＝(2+√3)^nー(2ー√3)^n＝２√3ｂ[n]
ｂ[n]＝｛(2+√3)^nー(2ー√3)^n｝/2√3
ｂ[n+1]＝｛(2+√3)(2+√3)^nー(2-√3)(2ー√3)^n｝/2√3
=｛2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n-2(2-√3)^n+√3(2-√3)^n｝/2√3
=2ｂ[n]+a[n]

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2021/04/04 08:43

・n=1のとき、

2+√3=a[1]+b[1]√3 より、a[1]=2,b[1]=1
∴a[1]-b[1]√3=2-√3

・n=k のとき、
(2+√3)^k=a[k]+b[k]√3 とおくとき、
(2-√3)^k=a[k]-b[k]√3 が成り立つとする
n=k+1のとき、
(2+√3)^(k+1)=a[k+1]+b[k+1]√3 とおくとき、 ←n=k+1でも、これは条件です
(2-√3)^(k+1)=a[k+1]-b[k+1]√3 であることを示す
(2+√3)^(k+1)=(a[k]+b[k]√3)(2+√3)
=(2a[k]+3b[k])+(a[k]+2b[k])√3
∴a[k+1]=2a[k]+3b[k], b[k+1]=a[k]+2b[k] ―※
(2-√3)^(k+1)=(a[k]-b[k]√3)(2-√3)
=(2a[k]+3b[k])-(a[k]+2b[k])√3
=a[k+1]-b[k+1]√3 (∵※より)
よって、n=k+1 でも成り立つ

以上より、すべてのnについて、
(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3 とおくとき、
(2-√3)^n=a[b]-b[n]√3 である

(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3・・①
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3・・②
①＋②＝(2+√3)^n＋(2ー√3)^n＝２a[n]
a[n]＝｛(2+√3)^n+(2ー√3)^n｝/2
a[n+1]＝｛(2+√3)(2+√3)^n+(2-√3)(2ー√3)^n｝/2
=｛2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n+2(2ー√3)^n-√3(2-√3)^n｝/2
=2a[n]+3ｂ[n]
①－➁＝(2+√3)^nー(2ー√3)^n＝２√3ｂ[n]
ｂ[n]＝｛(2+√3)^nー(2ー√3)^n｝/2√3
ｂ[n+1]＝｛(2+√3)(2+√3)^nー(2-√3)(2ー√3)^n｝/2√3
=｛2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n-2(2-√3)^n+√3(2-√3)^n｝/2√3
=2ｂ[n]+a[n]