数学について質問です。 ｜a＋b＋c｜≦ ｜a｜＋｜b｜＋｜c｜。 を示し、等号成立条件も求めます

数学について質問です。

｜a＋b＋c｜≦ ｜a｜＋｜b｜＋｜c｜。
を示し、等号成立条件も求めます

実はこの問題は(3)でして、(1)で｜a＋b｜≦ ｜a｜＋｜b｜を示しました。

それを利用します。

(1)で示した｜a＋b｜≦ ｜a｜＋｜b｜ のbの部分にb＋cを代入すると、｜a＋b＋c｜≦ ｜a｜＋｜b｜＋｜c｜を示せます。

問題は等号成立条件です。

ちなみに、(1)の場合の等号成立は "ab≧0のとき" でした。

なので、先程と同じように、bの代わりにb＋cとおいて、"ab＋ac≧0のとき"が答えになるのかな？と思いましたが、違いました。

解答ではこのように書いてました。

等号が成り立つのは、(1)の等号成立条件ab≧0において、bの代わりにb＋cをおいたa(b＋c)≧0、かつaの代わりにcをおいたbc≧0のときである。

a(b＋c)≧0ならば、(a≧0かつb＋c≧0) または(a≦0かつb＋c≦0)
また、b＋c≧0ならば、(b≧0かつc≧0) または (b≦0かつc≦0)

よって、a≧0, b≧0, c≧0 または a≦0, b≦0, c≦0 のときである。

以上が解答の内容です。

全体的に 何を言ってるのか分かりません…。

なぜaの代わりにcをおいたのか分かりませんし、a(b＋c)≧0ならば〜の部分も全く分かりません…。

具体的な解説お願いします…

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/04/18 20:36

よくわからん解答に思う。

【式の成立について】
(1)で｜A＋B｜≦ ｜A｜＋｜B｜を示した。
A＝a、B＝b＋c とおいて、
|a＋b＋c|≦|a|＋|b＋c|
|b＋c|≦|b|＋|c| より、|a|＋|b＋c|≦|a|＋|b|＋|c|
まとめると、
|a＋b＋c|≦|a|＋|b＋c|≦|a|＋|b|＋|c|　・・・①
故に、|a＋b＋c|≦|a|＋|b|＋|c|

【等号成立について】
①の |a＋b＋c|≦|a|＋|b＋c| 部分に関しての等号成立は、(1)の考え方より
a(b＋c)≧0

①の |a|＋|b＋c|≦|a|＋|b|＋|c| 部分に関しての等号成立は、やはり(1)の考え方より
bc≧0

だから、全体での |a＋b＋c|≦|a|＋|b|＋|c| での等号成立は
a(b＋c)≧0 かつ bc≧0 でなければいけない。→ここはミソ。a(b＋c)≧0だけでは条件が不足。

bc≧0より、b≧0かつc≧0、もしくは b≦0かつc≦0 である。
(つまり、どちらも0以上か、もしくはどちらも0以下かである。)

(i)b≧0 かつ c≧0の場合（両方とも0以上）
b＋c≧0であり、a(b＋c)≧0 より a≧0 となるはず。
だから、a≧0 かつ b≧0 かつ c≧0である。

(ii)b≦0 かつ c≦0の場合（両方とも0以下）
b＋c≦0であり、a(b＋c)≧0 より a≦0 となるはず。
だから、a≦0 かつ b≦0 かつ c≦0である。

以上から、等号成立条件は
・a≧0 かつ b≧0 かつ c≧0 か、もしくは
・a≦0 かつ b≦0 かつ c≦0　のいずれかである。

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ここまで書いて気が付いた。
「aの代わりにcをおいたbc≧0のときである。」→この部分は、|b＋c|≦|b|＋|c| の等号が成立する条件を言っていたんだね。