次の関係があるとき、三角形ABCはどんな形か。

sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC

A 回答 (5件)

もういやんなっちゃう。

何回訂正してるんだ、俺は。

直角はπ/2ですね。π/4は45°でした。正しくは
    ∠A=π/2、または∠B=π/2の直角三角形    ←(答え)
ミスばっかり、もう。

taropooの回答は無視してguiterさんの回答をご参照下さい。
いや、ホントまいった。
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> taropoo さんの計算ミスだとは思いますが、



そうですね、というよりは最後の最後でsinとcosを勘違いしてしまいました。
    sin(A+B) = 0
C = π - (A+B)より
    sinC=0
0<C<πなのでsinC>0、よってこの場合はあり得ない。
ゆえに残りの
    ∠A=π/4、または∠B=π/4の直角三角形    ←(答え)
が答えなのはguiterさんのおっしゃる通りです。
失礼しました。
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taropoo さんの計算ミスだとは思いますが、



  sinAcosA + sinBcosB = sinCcosC
⇔ sin2A + sin2B = sin2C
⇔ sin2A + sin2B + sin(2A+2B) = 0
⇔ sin2A + sin2B + sin2Acos2B + cos2Asin2B = 0
⇔ sin2A(1+cos2B) + sin2B(1+cos2A) = 0
⇔ sin2A(cos^2)B + sin2B(cos^2)A = 0
⇔ sinAcosA(cos^2)B + sinBcosB(cos^2)A = 0
⇔ cosAcosB(sinAcosB + cosAsinB) = 0
⇔ cosAcosBsin(A+B) = 0
⇔ cosAcosBsinC = 0

ここで、0<C<π より sinC≠0 なので
 cosA=0 or cosB=0
つまり、
 A=π/2 or B=π/2
ではないでしょうか。

すでに回答があったので、訂正の意味で回答を書きましたが
出来るだけ自分で考えるようにしてみて下さいね。
「こう考えたけど行き詰まった」くらいは示したほうが良いと思いますよ。
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下のtaropooの答えで、式変形の途中で何の断わりも無くcosA, cosBで両辺を割ってしまいましたが、


cosA=0, cosB=0の場合があることを忘れていました。

cosA=0の場合は∠A=π/4、
cosB=0の場合は∠B=π/4なので結局どの角も直角になりうることになります。

したがって答えは
∠A=π/4、または∠B=π/4、または∠C=π/4の直角三角形    ←(答え)
となります。

ちなみに下の回答の最後の行に変なこと書いちゃいましたが、あまりお気になさらぬよう。
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sinAcosA + sinBcosB = sinCcosC


三角形なので C = π-(A+B) よって
    sinC = sin{π-(A+B)} = sin(A+B)
    cosC = cos{π-(A+B)} = -cos(A+B)
ゆえに
    sinAcosA + sinBcosB = -sin(A+B)cos(A+B)
    sinAcosA + sinBcosB + sin(A+B)cos(A+B) = 0
    sinAcosA + sinBcosB + (sinAcosB+cosAsinB)(cosAcosB-sinAsinB) = 0
    sinAcosA + sinBcosB + sinAcosA(cos^2)B - (sin^2)AsinBcosB + (cos^2)AsinBcosB - sinAcosA(sin^2)B = 0
    sinAcosA{1 + (cos^2)B - (sin^2)B} + sinBcosB{1 - (sin^2)A + (cos^2)A} = 0
    sinAcosA{(cos^2)B + (cos^2)B} + sinBcosB{(cos^2)A + (cos^2)A} = 0
    sinAcosA(cos^2)B + sinBcosB(cos^2)A = 0
    sinAcosB + sinBcosA = 0
    sin(A+B) = 0
0<A<π、0<B<πより
    A+B = π,3π/4
この時C = π-(A+B), 0<C<πより
    C = π/4
即ち△ABCは∠C = π/4の直角三角形となります。

q=123313もそうだけど、分かって納得したら締めきってね。
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