伝達関数の縦軸（振幅）の意味は？

モード解析のために、ハンマリング試験とランダム加振試験で伝達関数（FRF）を
算出しました。しかしこの縦軸の意味がわかりません。

まず伝達関数の振幅が、入力と応答の振幅比だというのはわかります。
すなわち正弦波を与えた時の応答と入力の最大振幅の比だというところまではいい
のだと思います。しかし構造物を正弦波加振した時の応答は、当初過渡的な応答を
示した後に定常応答（＝調和振動）に収束するものと振動学で習いました。
とすると、この伝達関数の振幅は応答のどの数値を用いて算出されているのでしょうか？

１．応答が調和振動に収束した後の、正弦波応答の最大振幅
２．インパルス応答の減衰波形における、窓区間内の全ての周期の最大振幅の平均値
３．それ以外

込み入った質問ですが、よろしくお願いします。

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/02/23 18:26

構造物には門外漢ですが。

電気の世界では定常状態での伝達関数を求めます。

でも過渡状態で求めても原理的には問題ないと思います。
実際上は過渡状態では計測や演算が大変だとは思いますが。

この回答へのお礼

回答有難うございます。線形時不変システムを前提にしているので変わらないと思います。
ただし、構造の世界ではMx''＋Cx'＋kx＝f(t)の運動方程式が基礎方程式になります。

私は逆に電気のことはわからないのですが、スイープ試験を前提にしておられますでしょうか？
構造物では周波数の一ラインずつサイン波を入れて応答が飽和するのを待つようなスイー
プ試験は大変です。そこで、広帯域波を一度に入れてFFTをかけるわけです。その縦軸の意
味がわからずに悩んでいます。

試験の前提が違っていると困るのですが、電気の世界でもインパルス応答試験やランダム
加振（ランダム印加？）試験などはあるのでしょうか？

お礼日時：2005/02/23 18:43

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2005/02/23 19:43

対象が線形時不変なら

定常正弦波を入力して、出力が定常に落ち着いたときの振幅、位相から伝達関数をもとめても、
インパルス（あるいはランダムな信号、あるいは過渡的な信号)を入力して、入力信号のフーリエ変換と出力のフーリエ変換から伝達関数をもとめても、
原理的には同じ伝達関数が得られます。
（線形系なら、入力信号を周波数成分に分解することが出来る＋出力信号は入力信号のそれぞれの周波数成分に対する応答の和で表わされる　ので）

正弦波を使ったときには、一回の測定で（ひとつの周波数成分しか信号中に無いので）（周波数）伝達関数の一点が求まるだけなのに対して、過渡信号やインパルスのように多くの周波数成分をもつ信号を使えば、一回の測定で伝達関数の全体像が得られます。
が、一定値に収束した正弦波を使って（時間をかけて）伝達関数を求めるほうが、入出力間の相関の高い測定結果が得られ、誤差(揺らぎ）の少ない測定が出来るようです。

この回答への補足

回答有難うございます

＞が、一定値に収束した正弦波を使って（時間をかけて）伝達関数を求めるほうが、
＞入出力間の相関の高い測定結果が得られ、誤差(揺らぎ）の少ない測定が出来る

実験的には材料のヒステリシスがあり（つまり時変システムである）ので、時間平均
をとれば解が安定するのはわかります。今回は理想的な線形システムの入力－応答の
理論的な話に絞っていただければ簡潔でありがたいです。
－－－

今回は振幅の縦軸を問題にしているので、とりあえず位相の話は置いておきます。
線形システムなので、インパルス応答試験とランダム加振試験で得られる伝達関数
が同じ（応答が線形応答の重ね合わせだから）というのはわかります。問題は定常
振動と過渡振動の違いです。

インパルス応答試験による伝達関数：
過渡応答のフーリエ変換／対応する入力のフーリエ変換

調和振動試験（？）による伝達関数：
定常応答のフーリエ変換／対応する入力のフーリエ変換

両者は同じになるということでしょうか？

もっと言えば、インパルス応答試験で得られる伝達関数の振幅は、単位振幅の正弦波
入力を無限周期与えた時の応答振幅と理解して良いのでしょうか？

補足日時：2005/02/24 10:40

この回答へのお礼

>電気ではスイープ試験が比較的簡単に出来ますのでそれ以外の方法は余り聞きません。
>特にランダム印加試験は聞いた事がありません。

補足有難うございます。電気はメガヘルツの世界ですから、キロヘルツのメカの世界とは
単純に時間が1000倍違いますしね。。。

インパルス応答とランダム加振試験は過渡応答1発／インパルス1発の比か、過渡応答複数／
インパルス複数の比かの違いで、求まるものは同じです。
ただしランダム加振の場合、インパルス応答試験を複数回数を行うのと同じ効果があり、
材料のヒステリシスを平均化することで応答が安定するというのは現実的なメリットですが、
きれいな線形性を持つ電気回路には無縁でしょう。


>入力波のＦＦＴと出力波のＦＦＴということですよね。
>だとするとどちらも波の振幅（dＢ？）を表していると思いますので
>出力／入力（dＢなら出力－入力）をとればいいと思います。

単位は加速度／力ですが、基準を取ってdbで議論しても支障はありません。
今、まさに出力／入力のフーリエ係数の比が求まっているわけですが、
その比の意味がわからずに困っています。具体的にはもうひとかたの補足で。

お礼日時：2005/02/24 10:42

No.3 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/02/23 20:59

No.1のymmasayanです。

補足質問にお答えします。

>　スイープ試験を前提にしておられますでしょうか？
アンプやフィルターの周波数特性を見るにはスイープ試験をします。
もっとも設備が整っていればの話ですが。

>　構造物では・・・スイープ試験は大変です。
>　そこで、広帯域波を一度に入れてFFTをかけるわけです。
>　その縦軸の意味がわからずに悩んでいます。
入力波のＦＦＴと出力波のＦＦＴということですよね。
だとするとどちらも波の振幅（dＢ？）を表していると思いますので
出力／入力（dＢなら出力－入力）をとればいいと思います。（釈迦に説法かも？）

>　電気の世界でもインパルス応答試験やランダム加振（ランダム印加？）試験などは
あるのでしょうか？

電気ではスイープ試験が比較的簡単に出来ますのでそれ以外の方法は余り聞きません。
特にランダム印加試験は聞いた事がありません。
制御の世界ではステップ応答試験をする事はあるようです。

この回答へのお礼

＞が、一定値に収束した正弦波を使って（時間をかけて）伝達関数を求めるほうが、
＞入出力間の相関の高い測定結果が得られ、誤差(揺らぎ）の少ない測定が出来る

実験的には材料のヒステリシスがあり（つまり時変システムである）ので、時間平均
をとれば解が安定するのはわかります。今回は理想的な線形システムの入力－応答の
理論的な話に絞っていただければ簡潔でありがたいです。
－－－

今回は振幅の縦軸を問題にしているので、とりあえず位相の話は置いておきます。
線形システムなので、インパルス応答試験とランダム加振試験で得られる伝達関数
が同じ（応答が線形応答の重ね合わせだから）というのはわかります。問題は定常
振動と過渡振動の違いです。

インパルス応答試験による伝達関数：
過渡応答のフーリエ変換／対応する入力のフーリエ変換

調和振動試験（？）による伝達関数：
定常応答のフーリエ変換／対応する入力のフーリエ変換

両者は同じになるということでしょうか？

もっと言えば、インパルス応答試験で得られる伝達関数の振幅は、単位振幅の正弦波
入力を無限周期与えた時の応答振幅と理解して良いのでしょうか？

お礼日時：2005/02/24 10:43

No.4 回答者： foobar 回答日時： 2005/02/24 11:31

見方を変えて、

1. ある伝達関数(周波数特性)が既知(G(ω))の系が有る
2. これに以下の信号を入力したらどのような出力が得られるか
2-a 周波数ω0の正弦波
2-b 理想的なインパルス信号
3. 与えた入力と得られた出力から、伝達関数がどのように求まるか。

の順で考えてみては如何でしょうか。(話を簡単にするために、入力信号を理想化して、正弦波とインパルスにしました)

a. 正弦波(定常)をいれた場合、
・入力(X)、出力(Y)は周波数ω0の成分だけをふくんでいて、
Y=G(ω0) X になります。出力に影響するのは、伝達関数のうち、周波数がω0の点だけです。他の周波数でどんな特性になっていても、出力には影響しません。
・で、YとXから何が求まるかとなると、
Y/X=G(ω0)ですので
伝達関数のうち周波数がω0の点だけが求まります。(そのほかの周波数については、入力にも出力にも成分が含まれていませんので、G(ω0以外)=0/0 となって求まりません。)
・このため、伝達関数全体を求めるには、周波数ω0を変えての測定が必要になります。

・正弦波でなくて、歪んだ周期波形の場合には、入力信号(と出力信号)が基本波周波数の整数倍の成分だけを含みます。(ω0,2*ω0,3*ω0...)。このため、伝達関数を求めると、これらの周波数の点(G(ω0),G(2*ω0),G(3*ω0)...)だけが求まります。これらの周波数の間では点は求まりません。

b. 理想的なインパルスをいれた場合。
・理想的なインパルス（入力)信号は全ての周波数成分を等量含みます。
・このため、出力Y(フーリエ変換したもの)は
Y(ω)＝G(ω)X(ω)で、かつ、X(ω)＝一定 (全ての周波数成分を等量含むから。一定値をX0とおく) ですから
Y(ω)＝G(ω)X0
となります。
・Y(ω)/X(ω)(=Y(ω)/X0)＝G(ω) と伝達関数全体が求まります。

・通常の過渡試験(やランダム信号入力)では、ちょうどa.とb.の中間の状況になっています。(X,Yともに全体の周波数成分をもっている。が、X(ω)は一定値じゃなくて、ある分布になっている)

と、こんな具合で如何でしょうか。

---
ちなみに、電気の関連でも、ランダム信号による測定てのはあります。全ての周波数を含む白色雑音(ホワイトノイズ)を入力して、出力を周波数分析して、周波数特性を観測する、というのがこれに該当します。

この回答への補足

一応理解はついていっているつもりでいるのですが、肝心なところがわかりません。申し訳ないのですが再度確認させてください。

－インパルス加振によるインパルス応答試験
－定常な正弦波による応答測定

を考えます。

このとき、スイープ試験における周波数ω0の時の応答振幅＝Gsweep(ω0)
インパルス応答試験における周波数ω0の応答成分の大きさ＝Gimpulse(ω0)

として、Gsweep(ω0)＝Gimpulse(ω0)が言えますか？　ということです。

補足日時：2005/02/24 20:42

この回答へのお礼

お礼の欄を使ってすいません。下記のように訂正します。

このとき、スイープ試験における周波数ω0の時の応答振幅＝Gsweep(ω0)
インパルス応答試験における伝達関数の周波数ω0の値＝Gimpulse(ω0)

お礼日時：2005/02/24 20:45

No.5 ベストアンサー 回答者： foobar 回答日時： 2005/02/25 06:59

「

・正弦波試験における周波数ω0の時の応答振幅＝Gsin(ω0)
・インパルス応答試験における伝達関数の周波数ω0の値＝Gimpulse(ω0)
両者は等しいか（sweepはちょっと理想条件から外れる部分があるので、正弦波入力と置き換えさせていただきました）」
（ノイズ、測定誤差などの無い理想条件下なら）両者は等しいです。

理由としては、「系が線形だから」。

・出力をフーリエ変換すると
Y(ω)=G(ω)X(ω)
になるのはこれまでのとおり。
・でこのうちYのω=ω0の成分について見ると、Y(ω0)=G(ω0)X(ω0)で、G(ω0以外)やX(ω0以外)の影響は受けません。
・つまり、Xにどんな信号を入れても、出力のω0の成分を取り出してみれば、どんな場合でも(たとえXがインパルスだろうが、周波数ω0の正弦波だろうが)
Y(ω0)=G(ω0)X(ω0)　は成立していて、
G(ω0)=Y(ω0)/X(ω0) は同じ値をとります。

この回答へのお礼

大変すっきりしました。
（置き換え有難うございます。スイープはステップのつもりでしたが、
　チャープと勘違いする場合がありますね。）

いずれにせよ、なぜ同じかはコンボリューション積分をもう少し勉強してみます。
お付き合い有難うございました。

お礼日時：2005/02/25 09:29