No.7ベストアンサー
- 回答日時:
他の人とかぶっているかもしれません。
(質問でが boku115 さんが解いた続きからではありません……)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=a^3b-a^3c+b^3c-ab^3+ac^3-bc^3
aについて整理
=(b-c)a^3+(c^3-b^3)a+bc(b^2-c^2)
=(b-c)a^3+(c-b)(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c)(b-c)
=(b-c)a^3-(b-c)(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c)(b-c)
(b-c)でくくる
=(b-c){a^3-(c^2+cb+b^2)a+bc(b+c)}
=(b-c)(a^3-ac^2-abc-ab^2+b^2c+bc^2)
bについて整理
=(b-c){(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)cb+(a^2-c^2)a}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)cb+(a-c)(a+c)a}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)cb-(c-a)(a+c)a}
(c-a)でくくる
=(b-c)(c-a){b^2+cb-(a+c)a}
=(b-c)(c-a)(b^2+bc-a^2-ac)
=(b-c)(c-a){(b^2-a^2)+(bc-ac)}
=(b-c)(c-a){(b-a)(b+a)+c(b-a)}
(b-a)でくくる
=(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c)
読みやすく並び替え
=(b-a)(b-c)(c-a)(a+b+c)
こんな解き方で良いでしょうか?
No.6
- 回答日時:
一般的なアドバイスですが、
このような問題を見た瞬間に気付くべき点は、
1:
とりあえず、与式の対象性(a,b,cについて)ですね。
これで一瞬で解ける場合があります。
今回は、そうではないようですが。
2:
それから、次に、a^3などを見れば、一つの変数について、降順に書き直してくくり出す、ということですね。
3:
さらには、(b-c)がくくり出せた時点で、1で述べた対象性から(a-b),(c-a)でもくくり出せることに気付くことです。気付けなかったら、これからは気付けるようにしてくださいね。とにかく、入試までに間に合えばいいですから。
4:
つぎに、f(a,b,c)とおいた後に、f(a,b,c)=-a+x
(ここで、xは、aの0次、即ち、bとcで表される数式です。)とわかると、これも、今回は与式の対象性から、即、f(a,b,c)=-a-b-c=-(a+b+c)と気付けるでしょう。
こうなると、-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)が因数に含まれることは分かりますよね。
5:
次に、他に因数はないか確かめます。
とりあえず、-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)を展開するしかないでしょう。
(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)} と(b-c)までは、くくり出せたのですから、
a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)を目指せばよいでしょう。
展開して確かめた結果、
-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)以外に因数はありませんでした。更に、これに加減算する数式もありませんでしたね。
以上で、数式は証明できました。
考え方は分かりましたか?
追伸:
高校生の家庭教師をしていた経験もあるので、考え方を教えるのも自信があったのですが、最近は企業勤めが長くなり、公式や解法忘れてきました。。。。
まあ、高校数学を解く機会は、高校を卒業して以来10年以上もありませんでしたから、逆に新鮮ですね。
No.5
- 回答日時:
No2さんのように、
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)} ---(α)
までは分かると思います。
ここで、与式の対象性と(b-c)がくくり出せた事から、
(a-b)と(c-a)もくくり出せますよね。
ここで、
(a-b)(c-a)
=ca-a^2-bc+ab
=-(a^2-ab-ca+bc)
=-{a^2-(ab+ca)+bc}
=-{a^2-(b+c)a+bc} ---(β)
ここで、a,b,cを定義域とした関数をf(a,b,c)とおくと、(α)(β)より、
(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
=-(b-c){a^2-(b+c)a+bc}f(a,b,c)
ですよね。
ここで、両者を比較すると、
a^3の係数より、
f(a,b,c)=-a+xでなければなりませんね。
(これをみると、対象性からf(a,b,c)=-(a+b+c)では?
と気付きそうですが。。。。まあ、置いていおいて。)
次に、aの0次を見ると、(β)に(b+c)をかける必要があります。
((b+c)をみると、対象性から(a+b+c)では?
と気付きそうですが。。。。まあ、置いていおいて。)
これより、aの1次を見ると、(β)にも(b+c)をかけなければなりません。
すると、(b+c)^2a=(b^2+2bc+c^2)aですが、
(α)をみると、-(b^2+bc+c^2)aですよね。
よって、お分かりのように、bcaの差があります。
さて、それでは、以上より、因数分解してみましょう。
(α)
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)+g(a,b,c)
(ここで、gは、a,b,cを定義域とする関数。)
=(b-c){a^2-(b+c)a+bc}(a+b+c)+g(a,b,c)
=(b-c)[{a^3-(b+c)a^2+abc}+{a^2b-(b+c)ab+b^2c}+{a^2c-(b+c)ca+bc^2}]+g(a,b,c)
=(b-c){a^3-ab^2+b^2c-(b+c)ca+bc^2}+g(a,b,c)
=(b-c)[a^3-{b^2+(b+c)c}a+b^2c+bc^2]+g(a,b,c)
=(b-c)[a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)]+g(a,b,c) ---(γ)
ここで、(α)と(γ)を比較すると、
g(a,b,c)=0
よって、
与式
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
できました。
が、なんかスピード感がなくてすみません。
着実な解法でよいなら、上で十分と思いますが、
もっとスピード感がある華麗な解法がある方、
あとはよろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
わかりました
それから
=(b-c)〔-(b+c){a^2-(b+c)a+bc}〕
=(b-c){-(b+c)(a-b)(a-c)}
=-(b-c)(b+c)(a-b)(a-c)
ですね。
No.3
- 回答日時:
まず{(a^2)-(b^2)}=(a+b)(a-b)
同様に{(a^3)-(b^3)}=(a-b)(a^2+ab+b^2)
となります。
そうすると(a-b)でまとめることができるので
与式=(a-b){ab(a+b)-c(a^2+ab+b^2)+c^3}
となります。
No.2
- 回答日時:
頑張ってみましたが・・
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
バラす
=a^3b-a^3b+b^3c-ab^3+ac^c-bc^3
こうべきの順に並べる
=a^3b-a^3c-ab^3+ac^3+b^3c-bc^3
=a^3(b-c)-(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2)
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)(b-c)
共通因数でくくる
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
ここまではできましたが、後が・・・
No.1
- 回答日時:
この手の因数分解の基本は、「最低次数の文字でくくる」です。
今、全部次数が一緒なので、aについての式にします。与式のa^3(b-c)の部分は放置して、b^3(c-a)+c^3(a-b)を展開、aについてまとめなおします。すると、すべて(b-c)でくくることができるようになるはずです。
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