f(x)＝0 (0≦x<1) または1(x＝1)が、x＝1で不連続であることを示せません。 ε＝1/

f(x)＝0 (0≦x<1) または1(x＝1)が、x＝1で不連続であることを示せません。

ε＝1/2として示したいのですが、、、。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/20 15:39

連続であるとするなら、

ヨδ＞0 s.t. ｜f(1)-f(1-δ)｜＜1-1/2＝1/2　
が存在するはずですが、
f(1)=1 で　f(x)=0 ∀　0≼ｘ<1 ですので、
f(1-δ)-f(1)=1　∀　δ＞0　
⇒f(x)はx＝１において連続ではない

関数の定義域の問題があって、完ぺきではないですが、
こんな感じでは、

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/20 16:25

ε=1/2が存在して

任意のδ>0に対して
x=1/(1+δ)とすると
|x-1|=δ/(1+δ)<δ
0<1/(1+δ)=x<1だから
f(x)=0
|f(x)-f(1)|=|f(x)-1|=1>1/2=ε
だから
∃ε{∀δ>0 →∃x(|x-1|<δ&|f(x)-f(1)|≧ε)}
だから
f(x)はx=1で不連続