積分

g(x)は実数から実数への微分可能な関数で、
g'(x)が連続でg(0)=0であるものとすると、
∫[0→1] |g(x)| dx ≦ ∫[0→1] |g'(x)| dx
が成り立つことの証明を教えてほしいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/02 17:01

g(x)は実数から実数への微分可能な関数で、

g'(x)が連続でg(0)=0であるものとすると、
|g(x)|は閉区間[0,1]で連続だから最大値
|g(a)|=max_{0≦x≦1}|g(x)|
が存在する
|g(x)|≦|g(a)|

∫[0→1]|g(x)|dx≦∫[0→1]|g(a)|dx=|g(a)|
∫[0→1]|g(x)|dx≦|g(a)|

g(a)=0の時
∫[0→1]|g(x)|dx≦0≦∫[0→1]|g'(x)|dx

g(a)>0の時
∫[0→1]|g'(x)|dx
≧∫[0→a]|g'(x)|dx
≧∫[0→a]g'(x)dx
=[g(x)][0→a]
=g(a)-g(0)
=g(a)
=|g(a)|
≧∫[0→1]|g(x)|dx

g(a)<0の時
∫[0→1]|g'(x)|dx
≧∫[0→a]|g'(x)|dx
≧∫[0→a]-g'(x)dx
=[-g(x)][0→a]
=-g(a)+g(0)
=-g(a)
=|g(a)|
≧∫[0→1]|g(x)|dx

∴
∫[0→1]|g(x)|dx≦∫[0→1]|g'(x)|dx

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
なるほど…こうやればよかったんですね。

お礼日時：2021/06/02 18:54

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/02 01:07

平均値の定理は区間 (i/n,(i+1)/n) のつもりでしたが、(0,1)と

なって、ダメでした。

この回答へのお礼

なるほど……？

ということはこの証明で正しいのかもしれませんね…。
ありがどうございました。

お礼日時：2021/06/02 18:51

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/01 15:54

誤りました。

失礼しました。

この回答へのお礼

もしかしたら
∫[0→1] x|g'(c)| dx ≦ ∫[0→1] |g'(c)| dx
かとも思いましたが、そのあとの

>=lim[n→∞] Σ[i] sup|g'(x)|/n
>=∫|g'(x)| dx

はどうでしょうか……。

お礼日時：2021/06/01 19:23

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/01 07:32

g(x)=g(0)+xg'(c)=xg'(c) , c∈(0,1)

∫[0→1] |g(x)| dx = ∫[0→1] x|g'(c)| dx = ∫[0→1] |g'(c)| dx
　=lim[n→∞] Σ[i]∫[i/n→(i+1)/n] |g'(c[i])| dx
　≦lim[n→∞] Σ[i]∫[i/n→(i+1)/n] sup|g'(x)| dx
　=lim[n→∞] Σ[i] sup|g'(x)|/n
　=∫|g'(x)| dx

この回答へのお礼

>∫[0→1] x|g'(c)| dx = ∫[0→1] |g'(c)| dx

これってどうして成り立つのですか？

お礼日時：2021/06/01 13:48