y=x^1/xの関数の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフを描け。 という問題が分かりません。 2

y=x^1/xの関数の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフを描け。
という問題が分かりません。
2回目の微分で凄い式になってしまい、混乱状態です。教えて下さい！！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/02 01:50

y = x^(1/x) を変形して x log y = log x となる。

これを x で微分して、log y + xy’/y = 1/x.　←[1]
よって、 y’ = (1/x - log y)(y/x)
　　　　　= (1 - x log y)y/x^2
　　　　　= (1 - log x)y/x^2.
y’ の符合は 1 - log x の符合と一致する。

[1] を変形して xy log y + (x^2)y’ = y.
これを x で微分して、y log y + xy’ log y + xy(y’/y) + 2xy’ + (x^2)y’’ = y’.
よって、 y’’ = { y’ - y log y - xy’ log y - xy’ - 2xｙ’ }/x^2
　　　　　= { (1 - x log y - 3x)y’ - y log y }/x^2
　　　　　= { (1 - x log y - 3x)(x^2)y’ - xy(x log y) }/x^4
　　　　　= { (1 - log x - 3x)(1 - log x)y - xy logx }/x^4
　　　　　= { 1 - 3x - 2log x + 2x log x + (log x)^2 }y/x^4
y’’ の符合は 1 - 3x - 2log x + 2x log x + (log x)^2 と一致するが、
確かにこれは「凄い式」だなあ。

y の増減、極値はいいとして、凹凸、変曲点なんて求められるのか？

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/01 23:06

その「凄い式」の通りにグラフを描くしかないはずです。