最大値をとる点は連続か？

Xを位相空間、Yをコンパクト空間とし、X×Yにこれらの積位相を入れる。
f:X×Y→ℝを連続関数とする。
このとき、ｘ∈Xごとに定まるf(x,・):Y→ℝは連続関数であり、Ｙはコンパクトだから最大値が存在する。
F:X→ℝ をF(x)=max{f(x,y)|y∈Y}で定義すると、Fは連続関数である。

ここで疑問に思ったのが、この最大値をとるｙはxを動かしたとき連続になるようにとれるのだろうか？
つまり、連続関数σ:X→Y が存在して、F(x)=f(x,σ(x))となるようにできるだろうか？

質問者からの補足コメント

• 

  その例だとF(x)=max{sin(1/x),0}だし、連続ですよね

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/07/17 18:51

• 普通に反例がありました。
  X=ℝ,Y=[0,1],f(x,y)=xy とする
  x<0でF(x)=0 このときy=0で最大
  x>0でF(x)=x このときy=1で最大
  よってもし連続なσ:ℝ→[0,1]があるなら
  x<0でσ(x)=0,x>0でσ(x)=1となるから
  x→-0とすればσ(0)=0,x→+0とすればσ(0)=1となり矛盾である。

    補足日時：2021/07/17 19:52

• 証明はtube lemmaを使うとそんなに難しくないと思う。詳細を書くにはスペースが足りないが、
  ε>0とa∈Xを任意に固定し、Fがaで連続であることを示す。
  {(x,y)∈X×Y| f(x,y)<F(a)+ε}を考える。
  {a}×Yはこの集合に含まれるから、tube lemmaを使うとaのある開近傍Nがあって、
  ∀x∈N, F(x)<F(a)+ε となる。
  F(a)=f(a,y)とすると、
  fは(a,y)で連続なのでaのある開近傍N'があって、∀x∈N', F(a)-ε<F(x).
  よって∀x∈N∩N', |F(x)-F(a)|<ε.
  N∩N'はaの開近傍なのでこれで証明完了。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/07/18 11:38

• 

  距離化不可能な位相空間での反例は自分はあまり詳しくないが、最初に挙げた反例を修正すれば得られると思う。
  例えばX=ℝをゾルゲンフライ直線とし、Y=[0,1]^ℝとする。
  ゾルゲンフライ直線は距離化不可能であり、ユークリッド距離から定まる位相より強い。
  [0,1]^ℝはチコノフの定理よりコンパクトだが、点列コンパクトではないので距離化不可能。
  f:X×Y→ℝをf(x,α)=xα(0)とすると連続。
  π_0:Y→[0,1]を射影,すなわちπ_0(α)=α(0)とする。
  もし連続なσ:X→Yが存在するならば、π_0とσの合成も連続であり、最初に挙げた反例と同様の矛盾が起こる。
  
  間違いがあったら指摘してください。

    補足日時：2021/07/18 12:05

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/17 18:40

>F:X→ℝ をF(x)=max{f(x,y)|y∈Y}で定義すると、Fは連続関数である。

<

これは言えない。
X=(0,1], Y=[0,1] , f(x,y)=ysin(1/x) とすると
　F(x)=sin(1/x)
となり、連続関数ではない。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/17 19:27

F(x)=max{sin(1/x),0}の意味が不明だが

f(x,y)=ysin(1/x)≦sin(1/x)
F(x)=sin(1/x)

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/17 20:01

サイですか・・・

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/18 08:36

> F:X→ℝ をF(x)=max{f(x,y)|y∈Y}で定義すると、Fは連続関数である。

これは正しい? ちょっと直ぐ判断できないけど。簡単に証明できる?
なおNo.1の回答はF(x)=sin(1/x)がx∈X=(0,1]では連続なので反例になっていない。
一方でXもYも距離空間である必要もないので、距離の入らない空間で反例があるんじゃないかとの疑いを持つ。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/18 10:30

#1,2です。

誤りました。

No.6 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/18 20:16

No.4です。

証明できていますね。Fは連続関数で間違いなさそうです。
それでNo.4で書いた"反例”はFが連続関数という主張に対する反例が出るかもという話なので、証明できた以上は出ないで問題ないです。

最大となるyが連続かという話については最初に挙げた反例で問題ないのでわざわざ距離空間にならない例を作る必要はないです。
ゾルゲンフライ直線を使った例も特に間違いはなく正しいと思いますけど。