数学A nを整数とする n^4+2n^2は3の倍数であることを証明せよ

上の問題を解くとき回答はn=3k ,3k+1,3k+2で場合分けして成り立つことを証明していました。

少し合同式のことを知っているので、整数を3で割って余り１　余り２　余り０の3つに分けることで
nに全ての整数を代入しなくても、なんとなく証明できるんだなぁと思ったのですが、

これは、例えば2で割った余りで考えたり、6で割った余りで考えたり出来ないのかなと思いました。

6の時はなんとなく出来そうですが、2の時は出来るか分からないです(自分でやったら出来なかった)。
出来ない場合には、なぜか教えていただけないでしょうか。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/07/23 13:44

任意の自然数nは、n≡0,1,2(mod3)のいずれか。

n≡0(mod3)の時、n⁴+2n²≡0+0≡0(mod3)
n≡1(mod3)の時、n⁴+2n²≡1+2=3≡0(mod3)
n≡2(mod3)の時、n⁴+2n²≡16+8=24≡0(mod3)

∴任意の自然数nについて、n⁴+2n²は3で割り切れる。
ここの何が疑問？

2で割った余りで考えたって3で割った余りは出て来ない。

この回答へのお礼

分かりました。やっぱ合同式で考えた方が分かりやすいですね。

お礼日時：2021/07/23 13:50

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/07/23 14:04

＞例えば2で割った余りで考えたり、6で割った余りで考えたり・・・

それは 別の問題の 場合で 考えてみてね。
今回は 3 で割るのですから、偶数で割った余りは 何の関係もない。

合同式でなくても簡単です。n⁴+2n²=n²(n²+2) 。
n=3k-1, 3k, 3k+1 とすると、
n=3k-1 のとき (3k-1)²{(3k-1)²+2}=3(9k²-6k+1)(3k²-2k+1) 。
n=3k のとき 計算するまでも無く 3 の倍数になる。
n=3k+1 のとき (3k+1)²{(3k+1)²+2}=3(9k²+6k+1)(3k²+2k+1) 。
以上 全て 3 の倍数になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/07/23 14:05

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/07/23 16:55

こんな証明方法もあります。

参考までに。

n^4＋2n^2
＝n^2(n^2＋2)
＝n^2{(n+1)(n+2)-3n}
＝n{n(n+1)(n＋2)－3n^2}

ここで、{n(n+1)(n＋2)－3n^2}について注目すると、
n(n+1)(n＋2)は連続する3つの整数の積なのでかならず3の倍数となる。
また、3n^2も3の倍数であるので、{n(n+1)(n＋2)－3n^2}も3の倍数となる。

故にn^4＋2n^2は3の倍数であることが証明された。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/07/26 00:14

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/23 20:44

mod を使うのであれば、

mod 3 で考えるのと
n=3k ,3k+1,3k+2 で場合分けするのが
全く同じ話だというのは
解ったほうがいいなあ。

今回は n^4+2n^2 (mod 3) の値を調べたいのだから、
mod 2 で考えても意味がない。
mod 6 は、無駄な計算が増えるが、目的にはかなう。
法が 3 の倍数なら、今回は使えるから。
実際にやってみたら解るよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
mod３とその場合分けが同じって言うのはなんとなく分かります

お礼日時：2021/07/24 15:30

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/07/25 21:07

n^4+2n^2は3の倍数である ⇔ n^4+2n^2を3で割ると余りは０である

上記のことが成り立つので３で割った余りで考えます。
２で割った余りで考えてわかることは2の倍数かどうかであって、３の倍数であることはわかりません。

６で割った余りで考えると６の倍数かどうかがわかります。6=3×2 で、６の倍数は3の倍数ですから６で割った余りで考えても３の倍数であることが分かりますが、手間がかかります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/26 00:14