(x²/4)+y²=1のとき、x=2cosθ y=sinθ

(x²/4)+y²=1のとき、
x=2cosθ
y=sinθ
と置くやり方を教えてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/18 00:34

そのように置いて、何をするのですか？

(x²/4) + y² = 1
の曲線を描いて、原点から角度 θ の半直線を引いてみてください（θ は x 軸からの角度）。
その交点の x, y 座標はどうなりますか？

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/18 11:13

(x/2)²+(y/1)²=1 ですから、

グラフに書くと 楕円になる事は 分かりますね。
この楕円上の点を P とすれば、
P の座標が分かりますから OP の値も分かり、
x 軸との 角度 θ も分かりますね。
つまり sinθ, cosθ の値も決まると云う事です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/18 23:20

(x²/4)+y²=1 上の点 (x₀,y₀) を

(x₁,y₁) = (x₀/2,y₀) で変換すると、
(x₁,y₁) は曲線 x²+y²=1 上の点になります。
この変換によって、
(x²/4)+y²=1 上の点 と
x²+y²=1 上の点が一対一に対応しますね。

次に、 x²+y²=1 上の点 (x₁,y₁) に対して
1 ≧ x₁ ≧ -1 の範囲で θ₁ = ∫[1,x₁] 1/√(1 - ｘ²) dx,
-1 ≦ x₁ ≦ -1 の範囲で θ₂ = π + ∫[-1,x₁] 1/√(1 - ｘ²) dx
で θ₁, θ₂ を定義すると、
θ = (θ₁, θ₂ のうち定義されているほう) と
x₁ = cosθ, y₁ = sinθ で定まる (x₁,y₁) が一対一に対応します。

こうして、(x₁,y₁) を介して
(x₀,y₀) と (2cosθ,sinθ) が一対一に対応し、
x₀ = 2cosθ, y₀ = sinθ の関係になります。