((1/√π)cos(nx),(1/√π)cos(nx)) =(1/π)∫_{-π～π}({cos(

((1/√π)cos(nx),(1/√π)cos(nx)) =(1/π)∫_{-π～π}({cos(nx)}^2)dx ={1/(2π)}∫_{-π～π}{1+cos(2nx)}dx ={1/(2π)}[x+sin(2nx)/(2n)]_{-π～π} =2π/(2π) =1

((1/√π)sin(nx),(1/√π)sin(nx)) =(1/π)∫_{-π～π}({sin(nx)}^2)dx ={1/(2π)}∫_{-π～π}{1-cos(2nx)}dx ={1/(2π)}[x-sin(2nx)/(2n)]_{-π～π} =2π/(2π) =1

(1/√(2π),1/√(2π)) ={1/(2π)}∫_{-π～π}dx =2π/(2π) =1
だから { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } は 正規直交基底 と言われたのですが内積が0の時が直交なのではないのですか？ なぜ1の時は関数同士のなす角が0°なのに正規「直交」基底と言われるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  要は、((1/√π)cos(nx),(1/√π)cos(nx))
  =2π/(2π)
  =1...①
  
  ((1/√π)sin(nx),(1/√π)sin(nx))
  =2π/(2π)
  =1...②
  
  (1/√(2π),1/√(2π))
  ={1/(2π)}∫_{-π～π}dx
  =2π/(2π)
  =1...③
  
  だから
  
  { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
  は①、②、③より画像の様に(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)となるため、
  正規直交基底と言えるのですか？

  
    補足日時：2021/08/19 10:49

• https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
  での質問なのですが、
  フーリエ級数展開は {1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} の関数の集合体であるため、 画像よりフーリエ級数展開は一次結合と言われるのはわかります。 しかし、なぜフーリエ級数展開が正規直交系と言われるのかわかりません。 と同時に正規直交系にしたいのかわかりません。

  
    補足日時：2021/08/19 11:23

• というのも{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} の各関数は長さ1ではないし、各関数同士が直交しているわけでもない、最小限のベクトル、というか各関数から作られているため基底は当てはまるのはわかります。 また、画像に関してc1...cnはスカラーと言っていますが、このスカラーとは関数x^2とxの係数の事を言っているのでしょうか。 どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2021/08/19 11:23

• もう一つ、画像に関して、 フーリエ級数展開を=0と仮定した場合。三角関数の式が0となるため直交関数系だと理解出来ます。
  そして、フーリエ級数展開自体が0なので、三つの式はいずれも0になります。
  そして、改めてフーリエ級数展開が0だとわかるのですが、あくまで仮定で0と置いただけなのに、 a0=a1=b1=b2=...=0と置けて、最後にフーリエ級数展開は正規直交系のように言われているのかわかりません。

  
    補足日時：2021/08/19 11:30

• なぜa0=a1=b1=b2=...=0と置けたのでしょうか？ フーリエ級数展開が0の時は正規直交系かも知れませんが、まるでフーリエ級数展開が0ではない場合は正規直交系ではないように受け取れます。 実際はフーリエ級数展開が0でなくてもフーリエ級数展開は正規直交系だと言われているのは回答者様の教え故にわかっていますが、 なぜフーリエ級数展開が0と仮定して正規直交系とわかっただけで、フーリエ級数展開が0でない場合も正規直交系であると結論がでる理由がわかりません。

    補足日時：2021/08/19 11:30

• 最後に参考にしました以下のサイトに関して質問があります。 フーリエ級数展開を満たす関数列は {1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} のはずなのに、なぜ画像では、全く異なる関数列でもフーリエ級数展開を満たすと言っているのかわかりません。 どうか具体的な計算を用いて詳しく説明して頂けないでしょうか。 以下は参考にしたサイトです。 https://univ-study.net/fourie-series-of-orthorogy/

  
    補足日時：2021/08/19 11:34

• 「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} があるとき
  f=a1 e1+...+aj ej+...+an en
  と表されているとすると
  (f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
  =a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
  =a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
  =aj (j=1, 2, ..., n)
  となります。
  従って
  f=a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en
  」
  に関して、f=aj (j=1, 2, ..., n)から
  f=a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an enと展開できたのかわかりません。

    補足日時：2021/08/19 11:34

• なぜなら、f=aj (j=1, 2, ..., n)には変数eがないためです。
  正しくはf=aj・ej(j=1, 2, ..., n)なのでしょうか？
  また、
  f=a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en
  =(f, e1)e1+(f, e2)e2+...+(f, ej)ej+...+(f, en)enに関して、
  どうやって、
  a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en...①
  から
  (f, e1)e1+(f, e2)e2+...+(f, ej)ej+...+(f, en)en...②と展開出来たのでしょうか？
  どうか①から②までの展開をもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2021/08/19 11:35

• f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… と作れた後で、 この式がフーリエ級数展開になるならば、(f(x), e₀(x))e₀(x) の部分はa0/2になると考えました。 e₀(x)=1/√(2π)はわかりました。
  しかし、画像のanとbnをf(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… からどうやって導くかわかりません。
  どうか導き方を教えてください。

  
    補足日時：2021/08/19 11:39

• ちなみに、なぜ画像の式はフーリエ級数展開になるとわかったのでしょうか？
  どうか詳しい解説をお願い致します。

  
    補足日時：2021/08/20 00:08

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/19 16:38

区間[-π, π]における関数の中では

e₀(x)=1/√(2π),
e₁(x)=(1/√π)sin(x),
e₂(x)=(1/√π)cos(x),
e₃(x)=(1/√π)sin(2x),
e₄(x)=(1/√π)cos(2x),
・・・・・・・・・・
は正規直交基底となるかどうかは

内積をどのように定義するかによるのです
内積を

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
定義すると

正規直交基底
にはなりません

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/19 11:47

＞ なぜ、区間[ーπ, π]における周期関数の中では

＞ e₀(x)=1/√(2π),
＞ e₁(x)=(1/√π)sin(x),
＞ e₂(x)=(1/√π)cos(x),
＞ e₃(x)=(1/√π)sin(2x),
＞ e₄(x)=(1/√π)cos(2x),
＞ ・・・・・・・・・・
＞ は正規直交基底となるのでしょうか？

それ、最近あなたが連発している質問の質問文中に
何回か引用している最初の質問への私の回答の中で
「自分で内積の積分を実行して確認しとくこと」
って書いたと思うのだけれど、まだやってなかったの？

かなりの数の質問を投稿しているようだけど
理解は１ミリも進んでいないようだし、
もうネットで済ませちゃうのは諦めて、そろそろ
一度くらいちゃんとした教科書を読んだら？

この回答へのお礼

おっしゃる通りかも知れません。
出来ないのに数学が大好きなんですよね。

お礼日時：2021/08/19 12:25

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/19 10:44

基底の中の

異なる
関数同士の内積が0の時
直交基底
というのです

((1/√π)cos(nx),(1/√π)cos(nx))
は
同じ関数(1/√π)cos(nx)の内積なので

自分と
自分自身
が
直交するはずはないのです

この回答へのお礼

いつもいつもありがとうございます！
ちなみに、
なぜ、区間[ーπ, π]における周期関数の中では
e₀(x)=1/√(2π),
e₁(x)=(1/√π)sin(x),
e₂(x)=(1/√π)cos(x),
e₃(x)=(1/√π)sin(2x),
e₄(x)=(1/√π)cos(2x),
・・・・・・・・・・
は正規直交基底となるのでしょうか？

お礼日時：2021/08/19 11:15