(f(t), (1/√π)cos(kt))･(1/√π)cos(kt) =∫[ーπ, π]f(t)(

(f(t), (1/√π)cos(kt))･(1/√π)cos(kt)
=∫[ーπ, π]f(t)(1/√π)cos(kt)dt･(1/√π)cos(kt)
=(1/π)∫[ーπ, π]f(t)cos(kt)dt・cos(kt)
=(an)・cos(kt)
ここからどうやって
(an)=(1/π)∫[ーπ, π]f(t)cos(kt)dtを導いたのでしょうか？ に関して、結果的にanを求める式が なぜ (f(t), (1/√π)cos(kt))･(1/√π)cos(kt)だと推測出来たのでしょうか？

また、(f(t), (1/√π)cos(kt))･(1/√π)cos(kt)
=∫[ーπ, π]f(t)(1/√π)cos(kt)dt･(1/√π)cos(kt)
=(1/π)∫[ーπ, π]f(t)cos(kt)dt・cos(kt)
=(an)・cos(kt)
ここからどうやって
(an)=(1/π)∫[ーπ, π]f(t)cos(kt)dtを導いたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• あの、フーリエ級数展開のanを求めるための (f(t), (1/√π)cos(kt))･(1/√π)cos(kt)は
  どうやって作ったのでしょうか？

    補足日時：2021/08/22 18:52

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 19:16

(定理)--------------------------

区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(k)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(kt)dt (k=0,1,2,3,…)
b(k)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)sin(kt)dt (k=1,2,3,…)
と
定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{k=1～∞}{a(k)cos(kt)+b(k)sin(kt)}
と
フーリエ級数展開できる
---------------------------------
という定理から

a(k)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(kt)dt
f(t)とcos(kt)の内積は
(f(t),cos(kt))=∫_{-π～π}f(t)cos(kt)dt
だから
a(k)=(1/π)(f(t),cos(kt))
↓両辺にcos(kt)をかけると
a(k)cos(kt)=(1/π)(f(t),cos(kt))cos(kt)
∴
a(k)cos(kt)=(f(t),(1/√π)cos(kt))(1/√π)cos(kt)

この回答へのお礼

なるほど、フーリエ級数展開を求めた後での計算だったのですね。

お礼日時：2021/08/23 11:26

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 19:01

正規直交基底だから

(ej,ej)=1
になるのです

{1/√(2π),(1/√π)cosx,(1/√π)sinx,(1/√π)cos(2x),(1/√π)sin(2x), …}
も正規直交基底
{e0 ,e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,…}
も正規直交基底

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 16:53

(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dt・cos(kt)

=(an)・cos(kt)
は間違いです

anではなくakです

(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dt・cos(kt)=(ak)・cos(kt)
から
(ak)=(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dtを導いたのではありません


(ak)=(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dt
から
(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dt・cos(kt)=(ak)・cos(kt)
を導いたのです

では
(ak)=(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dt
は
どこから導いたかというと

(定理)--------------------------
区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(k)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(kt)dt (k=0,1,2,3,…)
b(k)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)sin(kt)dt (k=1,2,3,…)
と
定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{k=1～∞}{a(k)cos(kx)+b(k)sin(kx)}
と
フーリエ級数展開できる
---------------------------------
という定理から

(ak)=(1/π)∫[-π, π]f(t)cos(kt)dt
を
導いたのです

この回答へのお礼

あの、以前の問題でわからないのですが、

{1/√(2π), (1/√π)cosx, (1/√π)cos2x, …, (1/√π)sinx, (1/√π)sin2x, …}の場合で、(f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
 =a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)のaj(ej, ej)の内積は1でしたが、なぜ1と導けたのでしょうか？
※(ej, ej)の内積が1になるのはわかります。

お礼日時：2021/08/22 18:22