sin(x^2)が周期関数ではない理由

タイトルの通りですが、sin(x^2)が周期関数ではない理由を、高校生にもわかるように教えて下さい！言葉でも数式でもＯＫです。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/26 18:06

あれ？ 午前中に回答したはずだけど

操作ミスで投稿されなかったかな？
それとも、回答が削除されたか...
最近、質問削除で同じ質問を再投稿とか
おかしなことが横行してるから、そのひとつか...

sin(x^2) が周期 T を持つとすると、
任意の x に対して sin( (x+T)^2 ) = sin( x^2 ).　　　　　　　　　 ←[1]
両辺を x で微分すると、 2(x+T) cos( (x+T)^2 ) = 2x cos( x^2 ).　　←[2]
両辺で ([1] ・ 2x)^2 + [2]^2 を行うと、
4x^2 + 4(2Tx + T^2) cos( (x+T)^2 )^2 = 4x^2 より
4T(2x + T) cos( (x+T)^2 )^2 = 0 が任意の x に対して成り立つが、
(2x + T) cos( (x+T)^2 )^2 は定数関数ではないので
成り立つのは T = 0 の場合のみ。 T = 0 では周期ではない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。両辺を微分する証明も苦手なので、参考にしたいです。あと、同じ質問の再投稿はしていませんので、なんで消えたかはわかりません。

お礼日時：2021/08/26 18:16

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/26 16:40

あるT≠0が存在して

すべてのxに対して
f(x)=f(x+T)
となる時に
f(x)を周期Tの周期関数というのです
f(x)=sin(x^2)
とする
f(x)を周期Tの周期関数と仮定すると

f(x+T)-f(x)=0
=sin((x+T)^2)-sin(x^2)=0
=sin(x^2+2xT+T^2)-sin(x^2)=0
=sin(xT+T^2/2)cos(x^2+xT+T^2/2)=0

x=0の時
sin(T^2/2)cos(T^2/2)=0
だから

T^2=nπ>0
となる自然数nがある

sin(xT+nπ/2)cos(x^2+xT+nπ/2)=0

x=(π/4)/Tの時

x^2=π^2/(16T^2)=π/(16n)

sin(π/4+nπ/2)cos(π/(16n)+π/4+nπ/2)=0
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))=0

(2n+1)π/4=mπ
となる整数mがあると仮定すると
(2n+1)π=4mπ
2n+1=4m
左辺奇数右辺偶数となって矛盾するから
(2n+1)π/4=mπとなる整数mは存在しない
sin((2n+1)π/4)≠0

(1+4n+8n^2)π/(16n)=(4m±1)π/2
となる整数mがあるとすると
1+4n+8n^2=8n(4m±1)
左辺奇数右辺偶数となって矛盾するから

(1+4n+8n^2)π/(16n)=(4m±1)π/2
となる整数mは存在しない
cos((1+4n+8n^2)π/(16n))≠0
∴
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))≠0
だから
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))=0
に矛盾するから

f(x)は周期関数ではない

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。ちゃんと数式でも証明できるのですね。整数問題っぽくなるのがおもしろいです。偶数とか奇数とかを使って証明していくのは苦手なので、こんなふうにできるようにもっと勉強します。

お礼日時：2021/08/26 18:14

No.6 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/08/26 16:23

周期関数の定義は、任意のxに対してsin(x+a)²=sinx²となる様な、定まったaが存在する、と言う事です。

aは「周期」と言いますね。

では、早速
sin(x+a)²=sinx²なので、sin(x+a)²-sinx²=0です。

これを、和積の公式に当てはめて変形すると、
2sin((x+a)²-x²)/2)cos((x+a)²+x²)/2)=0

任意のxに対して、これを成立される様な定まったaは存在しません。
だから、周期関数では有りません。

----------------------------------------------------------
sin((x+a)²-x²)=0、又は、cos((x+a)²+x²)なのですが、

sin((x+a)²-x²)=0ならば、(x+a)²-x²＝nπ(n×パイ)
a=±√(nπ+x²)-x
となり、xに依存するから、aは定まらない。

cos((x+a)²+x²)=0も同様にxに依存するから、aは定まらない。

この回答へのお礼

数式でのご回答、ありがとうございます。大事なのは、aが一定になるところなんですね。わかりやすかったです。

お礼日時：2021/08/26 18:08

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/26 11:29

>sin(x^2)の場合に、sin(x-nT)と書くことが「不可能」と

>言い切れる根拠はなんですか？

グラフを描いてみれば一目瞭然ですが、グラフを横に水平移動して
元のグラフにきれいに重ねることが不可能だからです。
右に行くほど振動周期が短くなるので・・・

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。sinの中が二次関数だから、どんどん周期が短くなっていくんですね！なんかわかったような気がします。

お礼日時：2021/08/26 18:05

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/26 04:47

周期関数なら

f(x)=f(x-nT)
n:整数。
T:周期

と書けないといけない。

f(x)=sinxなら
f(x)=f(x-n・2π)

でも

f(x)=sin(x^2)

では不可能。

この回答へのお礼

周期関数の定義を教えて下さって、ありがとうございます。確かにsinxだと、最初に習う通り、2πが周期になりますね。そこは納得できるのですが、sin(x^2)の場合に、sin(x-nT)と書くことが「不可能」と言い切れる根拠はなんですか？高校生の範囲で証明可能ですか？

お礼日時：2021/08/26 09:53

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/08/25 19:15

No.1です。

> 値の範囲が決まっているものは、すべて周期関数ですか？
いいえ。そうとは限りません。
所で、貴女が言う「周期関数」とは、どんな関数ですか？
それに合致するか否か、と言う事でしかありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。周期関数の正確な定義を調べてみます。

お礼日時：2021/08/26 09:49

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/08/25 17:50

一応確認ですが「周期関数」の定義は書けますか?

この回答へのお礼

「値が周期的に変わるもの」と習った気がするのですが、それだとsin(x^2)が周期関数ではないことと矛盾するので、「値が一定の周期で変わるもの」って感じでしょうか。

お礼日時：2021/08/25 18:23

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/08/25 17:22

sin関数の範囲は、0から±1の範囲です。

(x^2)が無限大近くになってもその範囲を逸脱することはありません。
なので、「周期関数ではない」と言うことは無いのです。

この回答へのお礼

値の範囲が決まっているものは、すべて周期関数ですか？

お礼日時：2021/08/25 18:20