問題. 実数a,bに対して |a+b|≦|a|+|b| が成り立つことを示せ。 この問題を以下のよう

問題. 実数a,bに対して
|a+b|≦|a|+|b|
が成り立つことを示せ。

この問題を以下のように証明してみました。
あっていますか？

証明. xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合である。
したがって凸不等式から
|(a+b)/2|≦(|a|+|b|)/2
∴ |a+b|≦|a|+|b|

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/28 20:12

xy平面における

{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であることの証明が無いのであっているとはいえません

この回答へのお礼

その証明があればあっているのですが？

お礼日時：2021/08/28 20:13

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/28 20:16

xy平面における

{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であることの証明
をみないとあっているかどうかわかりません

この回答へのお礼

それは論理的ではないでしょう？
AならばB
が正しいか聞いているのに
Aが正しいかどうかみないとわからない、というのはmtrajcpさんらしからぬ非論理的な発言ですよ。

お礼日時：2021/08/28 20:23

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/28 20:29

では

xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であることを証明してください
できないのならあっていません

この回答へのお礼

その前に
{(x,y)|y≧|x|}が凸集合
⇒ |a+b|≦|a|+|b|
が正しいか教えていただけません？

お礼日時：2021/08/28 20:32

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/28 20:41

xy平面における

{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
の証明
をみなければわかりません
証明してください

この回答へのお礼

そういえば、mtrajcpさんには聞きたいことがあったのを突然思い出したので、前のところに質問しました。

お礼日時：2021/08/28 21:14

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/29 04:51

通常

|a|+|b|≧|a+b|
が成り立つという事を使って

xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明するのです

だけれども
この場合
|a|+|b|≧|a+b|を証明するのだから
|a|+|b|≧|a+b|を使えないのです

|a|+|b|≧|a+b|を使わないで
xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明してください

この回答へのお礼

そんなことはないでしょう。
凸集合であることを示すのに三角不等式は不要かと。

むしろどうやって三角不等式を使って凸集合であることを示すのですか？

お礼日時：2021/08/29 05:48

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/29 05:52

では

とにかく
xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明してください

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/29 11:27

こっちの質問でも、また同じことをしているな。

芸風が一本調子というか...

＞ でもmtrajcpさんならそれが凸であることくらい
＞ 三角不等式を使わなくても示せるでしょう…？

それを「君が」示すんだよ。他人にしてもらうんじゃなくて。
証明するというのは、そういうこと。

質問の証明があっているか、いないかと言えば、
そこを君が自分でやってなくて不完全だから、
証明できているとは言えない。

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/29 15:00

では

xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であることは
証明できない
ということですね

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)
≧0

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2
∴
|a|+|b|≧|a+b|

という普通の証明があるのに
なぜ
わざわざ
証明できない
凸集合等というものを持ち出すのでしょうか?

この回答へのお礼

誰ができないなんて言いました？

お礼日時：2021/08/29 16:45

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/29 16:59

では

xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明してください

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)
≧0

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2
∴
|a|+|b|≧|a+b|

という普通の証明があるので
凸集合等というものを持ち出す必要はないと
私は
思います

この回答へのお礼

それでは証明してみます。

{(x,y)|y≧|x|}={(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}
なので、凸である。

お礼日時：2021/08/29 17:04

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/29 17:10

では

{(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}
は凸であること
を証明してください

この回答へのお礼

{(x,y)|y≧x}が凸であることを示せば十分でしょうが、まあこれは、明らか。

お礼日時：2021/08/29 17:19