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問題. 実数a,bに対して
|a+b|≦|a|+|b|
が成り立つことを示せ。

この問題を以下のように証明してみました。
あっていますか?

証明. xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合である。
したがって凸不等式から
|(a+b)/2|≦(|a|+|b|)/2
∴ |a+b|≦|a|+|b|

A 回答 (13件中1~10件)

a≦|a|…(1)


b≦|b|
↓これを(1)に加えると
a+b≦|a|+|b|…(2)

-a≦|a|…(3)
-b≦|b|
↓これを(3)に加えると
-(a+b)≦|a|+|b|
↓これと(2)から

|a+b|≦|a|+|b|

という簡単な証明があるので
凸集合等というものを持ち出す必要はないと思います
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この回答へのお礼

プンプン

mtrajcpさん、これ教えていただけませんか?
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12564879.html

ありものがたりもTacosanもどうも使い物にならなくて。
よろしくお願いします。

お礼日時:2021/09/10 21:51

{(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}



凸であることの証明を
明らかですましてよいのならば
明らかに
|a+b|≦|a|+|b|
だから
証明は必要ありません

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)
≧0

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2

|a|+|b|≧|a+b|

という高校生でもわかる証明があるので
私は
凸集合等というものを持ち出す必要はないと思います
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この回答へのお礼

どう思う?

なにか付け足すとしても、この程度のものでしょうね。

xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}={(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}
は凸集合である。
したがって凸不等式から0<t<1に対して
∴ |ta+(1-t)b|≦t|a|+(1-t)|b|

お礼日時:2021/09/10 21:49

{(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}



凸であることの証明を
明らかですましてよいのならば
明らかに
|a+b|≦|a|+|b|
だから
証明は必要ありません

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)
≧0

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2

|a|+|b|≧|a+b|

という普通の証明があるので
私は
凸集合等というものを持ち出す必要はないと思います
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この回答へのお礼

・・・。

なにが普通かはあなたが決めることではないと思います。

お礼日時:2021/09/02 20:21

では


{(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}
は凸であること
を証明してください
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この回答へのお礼

どう思う?

{(x,y)|y≧x}が凸であることを示せば十分でしょうが、まあこれは、明らか。

お礼日時:2021/08/29 17:19

では


xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明してください

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)
≧0

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2

|a|+|b|≧|a+b|

という普通の証明があるので
凸集合等というものを持ち出す必要はないと
私は
思います
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この回答へのお礼

どう思う?

それでは証明してみます。

{(x,y)|y≧|x|}={(x,y)|y≧x}∩{(x,y)|y≧-x}
なので、凸である。

お礼日時:2021/08/29 17:04

では


xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であることは
証明できない
ということですね

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)
≧0

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2

|a|+|b|≧|a+b|

という普通の証明があるのに
なぜ
わざわざ
証明できない
凸集合等というものを持ち出すのでしょうか?
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この回答へのお礼

うーん・・・

誰ができないなんて言いました?

お礼日時:2021/08/29 16:45

こっちの質問でも、また同じことをしているな。


芸風が一本調子というか...

> でもmtrajcpさんならそれが凸であることくらい
> 三角不等式を使わなくても示せるでしょう…?

それを「君が」示すんだよ。他人にしてもらうんじゃなくて。
証明するというのは、そういうこと。

質問の証明があっているか、いないかと言えば、
そこを君が自分でやってなくて不完全だから、
証明できているとは言えない。
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では


とにかく
xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明してください
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通常


|a|+|b|≧|a+b|
が成り立つという事を使って

xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明するのです

だけれども
この場合
|a|+|b|≧|a+b|を証明するのだから
|a|+|b|≧|a+b|を使えないのです

|a|+|b|≧|a+b|を使わないで
xy平面における
{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
を証明してください
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この回答へのお礼

どう思う?

そんなことはないでしょう。
凸集合であることを示すのに三角不等式は不要かと。

むしろどうやって三角不等式を使って凸集合であることを示すのですか?

お礼日時:2021/08/29 05:48

xy平面における


{(x,y)|y≧|x|}
は凸集合であること
の証明
をみなければわかりません
証明してください
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この回答へのお礼

Thank you

そういえば、mtrajcpさんには聞きたいことがあったのを突然思い出したので、前のところに質問しました。

お礼日時:2021/08/28 21:14

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