コンデンサーの一様な電場について質問です。 薄くて無限に広い、静電容量がC[F]のコンデンサーに電荷

コンデンサーの一様な電場について質問です。

薄くて無限に広い、静電容量がC[F]のコンデンサーに電荷+3Q[C](0<Q)が蓄えられているとします(上図)。
このとき、下側の極板の電位を0[V]にとると、上側の極版の電位は3Q/C[V]になると思います。

一方で、実際には電荷は極版に広がって分布しているため、仮に下図のように+Q[C]の点電荷がそれぞれ距離a[m]だけ離れて3ヶ所に分布しているとします。その場合、A点の電位は、点電荷が作る電位の公式により、
　VA=kQ/a + kQ/(+0) + kQ/a
= kQ/a + ∞ + kQ/a
=∞
となって、上記の3Q/Cにはならないように思えます。

自分が間違っているのは確かなのですが、どこの考え方が間違っているのかがわかりません。

どなたかわかる方いらっしゃいましたら、教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• すみません、画像を貼り忘れていました

  
    補足日時：2021/10/18 14:06

• 皆さま回答ありがとうございます。
  
  「無限に広い」というのは撤回させてください。
  普通の高校物理の問題で見かけるようなコンデンサーを想定していただきたいです。
  
  Q=CV、V=Q/C はよく用いますよね？
  
  また、確かにいくつかの点電荷に分けて考えるのは分かっています。ただ、電荷を面密度で考えたとしても限りなく小さな点電荷と捉えればV=kq/rは使えますよね？その場合、近い点ではV→∞に発散しませんか？
  
  それとも面密度で考える場合、V=kq/rは使えないのでしょうか？その場合、それはなぜなのでしょうか？
  
  ご回答のほどをよろしくお願いいたします。

    補足日時：2021/10/18 22:15

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/10/19 13:14

自由電子は点ではなく、雲のようなものなんで

あなたの質問のようにはならないです。
金属表面に薄く拡がった液体と捉えて計算すべき。

>電荷を面密度で考えたとしても限りなく小さな
>点電荷と捉えればV=kq/rは使えますよね？

小さく範囲を絞るほど対象となる電荷が減ってしまうから
発散するとは言えなくなる。
しっかり積分で計算しないと

この回答へのお礼

電荷を面密度で分布させて、重積分して近似を用いることで、V=kq/r から V=Q/C を導くことができました！
また見かけたらお力添えをお願いいたします

お礼日時：2021/10/19 23:29

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/18 22:53

No.2 です。

「補足」について。

＞ただ、電荷を面密度で考えたとしても限りなく小さな点電荷と捉えればV=kq/rは使えますよね？

静電ポテンシャルですから、全然問題なく使えます。
一般には
　k = 1/(4πε0)
と書いて
　V(r) = q/(4πε0r)
と書くことが多いでしょう。

＞その場合、近い点ではV→∞に発散しませんか？

発散というよりは、そこは「特異点」として対象外にしないといけません。
コンデンサの場合には、r は極板間の距離ですから r≠0 です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/18 18:42

手書きの図の下の図に書いた式の意味が分かりません。

同じ電極上に分布した電荷なら、表面に均一に分布するので、そこに書いたような式はあり得ません。
もし、無限大の面積の導体に「3Q」の電荷を荷電させたら、均一に分布することで電荷密度は「0」になってしまいます。「同電荷」どうしなので、斥力よって無限遠まで離れて行ってしまうので。
「距離 a でにらみ合う」こと、さらには「距離 0 で隣り合う」ことなどあり得ません。

＞仮に下図のように+Q[C]の点電荷がそれぞれ距離a[m]だけ離れて3ヶ所に分布しているとします

なので、そんな仮定はあり得ません。


「薄くて無限に広い、静電容量がC[F]のコンデンサーに電荷+3Q[C](0<Q)が蓄えられている」ときに、電極上に均一に分布した電荷の密度は
　ρ = 3Q/S [C/m^2]
ですが、S が「無限大」なら
　ρ = 0
となってしまいます。

また、コンデンサの静電容量も
　C = εS/d
なので、S が「無限大」なら静電容量も無限大になります。

従って極板間の電位差は 0 です。
3Q/C ではなく、Q→0, C→∞ の値です。

「無限に広い」コンデンサなら、ふつうは電荷の条件としては「電荷の量」ではなく「電荷密度」で与えられると思います。（この場合には、「電荷の総量」が無限大になることになります）
そうすれば、ある断面積「S」で切り出した部分の「電荷」と「静電容量」が定まりますから、「電位」も定まります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

無限大の面積というのは訂正します。普通の高校物理の問題に出てくるようなコンデンサーとして考えてください。

3か所に集中させたのは、電位の重ね合わせの式を説明しやすくするためで、もちろん、実際はもっと均一に分布していると理解しております。

ですが、どれだけ電荷を小さくして分布させようとも、V=kq/r という式でr≒0 ならばV→∞ という点は変わりないですよね？疑問に思っているところはその1点のみです。

自分の考えとしては、均一分布ならば1つ1つの電荷の大きさもq→0になるため、r→0のとき、kq/r → k×0/0 で不定形になるため、V→∞ではないのかと思いました。

お礼日時：2021/10/18 18:49

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/10/18 13:40

> 薄くて無限に広い、静電容量がC[F]のコンデンサー

無限に広ければ、静電容量も無限大になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「薄くて無限に広い」というのはよく問題文とかで用いられていると思ったため書いてしまいました。

一般的に高校物理の問題で出題されるコンデンサーを想定していただきたいです。

お礼日時：2021/10/18 14:05