積分で面積を求める問題なんですが。

少しみにくいのですが、添付画像の
問題で赤丸の不等式はわかるのですが
解答の中のなぜｖがxに変わるのかが理解できません。
ｖは0≦v≦u=xなのでｖは可変するので
必ずxになるとは限らず
面積も可変するのではないかと思うのですが。
宜しくお願い致します。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/01/16 20:48

u-v平面の領域は３角形です。

u決めて、v=0～uの棒をu軸で積分
すればよい。
この棒はxy平面に移したとき、x=uですから、x=一定のy軸の棒
になる。その棒の高さは u=x , v=0～u=0～x

→ y=0～(2sinu-1)v=0～(2sinx-1)x
となる。

この回答へのお礼

よく読んで理解させてください。

お礼日時：2022/01/16 20:58

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/16 20:51

x=u

y=(2sinx-1)v
0≦x≦π/2
0≦v≦x

0≦x≦π/6の時
sinx≦1/2

2sinx-1≦0
↓v≧0をかけると
(2sinx-1)v≦0

v≦x
↓両辺に-vを加えると
0≦x-v

2sinx-1≦0
↓0≦x-vをかけると
(2sinx-1)(x-v)≦0
↓両辺に(2sinx-1)vを加えると
x(2sinx-1)≦(2sinx-1)v
↓(2sinx-1)v≦0だから
x(2sinx-1)≦(2sinx-1)v≦0
↓y=(2sinx-1)vだから
∴
x(2sinx-1)≦y≦0

π/6≦x≦π/2の時
2sinx-1≧0

0≦v≦x
↓各辺に2sinx-1(≧0)をかけると
0≦(2sinx-1)v≦x(2sinx-1)
↓y=(2sinx-1)vだから
∴
0≦y≦x(2sinx-1)

この回答へのお礼

一度よく読んで理解させてください。
多分わかるような。

お礼日時：2022/01/16 20:58