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放物線y=x^2+aと円x^2+y^2=9が接するときのaの値の範囲を求めることについての質問です。
まず、この問題の解答では、条件より、1点又は2点で接する場合が考えられる。だからその2つで場合わけして考える。というのが方針でした。それで解答には、2点で接する場合の条件は放物線と円の2つの式を連立して出てきたy^2+y-a-9=0...①の判別式がD=0になればいいと書かれていました。確かに①でyの値が1つ出てきたらそれに対応するxの値が2つ出てきて2点で接するときの条件の1つになるとおもいました。しかし、そもそも①は放物線と円のy座標の交点を求める式であり、そこでyの値が1つのみでてきた場合それが意味するのは、一概に2点で接する場合といえないのではないかと思いました。aの値によっては2つの交点を持ち、そのときにもグラフの対称性からyの値は1つになるのではないかと思ったのです。この考察のどこか間違っているのか教えていただきたいです。また、1点で接する場合、(この問題の場合a=3、-3)はどうして①でyの値が1つ出てくることから求められないのですか?交点であるから、式から求められないのですか?解答は図形的に求めていて疑問に思いました。
過去にも似たような質問がありましたが、それらを読んでも理解できませんでしたのでぜひわかりやすく教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

A 回答 (6件)

y=x²+a…Ⓐ 


x²+y²=9…Ⓑ 
y²+y-a-9=0…①

D=1+4(a+9)=4a+37
[1] D>0 , つまり、a>-37/4 のとき、解は2個

[2] D=0 , つまり、a=-37/4 のとき、解は1個(重解)
重解なので、①より、y=-1/2
y=-1/2 , a=-37/4 をⒶに代入
-1/2=x²-37/4
x²=35/4
x=± √35 /2
よって、(-√35 /2 , -1/2) , (√35 /2 , -1/2) は接点です。

[3] D<0 , つまり、a<-37/4 のとき、解なし

[3] の場合は共有点がないことは明らかですが、[1] の場合については共有点があるかどうかは分かりません。①を満たすyが存在することは言えましたが、そのyに対応するxが存在しない場合は共有点はないということになります。
Ⓐより、x²=y-a…②
xが存在するためには、y-a≧0
y-a=0 のときは重解なので接点、y-a>0 のときは交点となります。
[1] の場合の解は2個ですが、それぞれの解がこの条件を満たすか満たさないかにより、共有点の個数は0個から4個まで変わります。

1点で接する場合については、[1] の特別な場合です。
②のxが重解になるので、y-a=0
これを①に代入すると、y²-9=0 より、y=±3
(ⅰ) y=-3 のとき、
①より、9-3-a-9=0
a=-3
①に代入
y²+y+3-9=0
y²+y-6=0
(y+3)(y-2)=0
y=-3 , 2

y=-3 , a=-3 をⒶに代入
-3=x²-3
x²=0 より、x=0(重解)

y=2 , a=-3 をⒶに代入
2=x²-3
x²=5
x=±√5

よって、a=-3 のとき、
共有点は3個で、(0 , -3) は接点、(-√5 , 2) , (√5 , 2) は交点です。

(ⅱ) y=3 のとき、
①より、9+3-a-9=0
a=3
①に代入
y²+y-3-9=0
y²+y-12=0
(y+4)(y-3)=0
y=-4 , 3

y=3 , a=3 をⒶに代入
3=x²+3
x²=0 より、x=0(重解)

y=-4 , a=3 をⒶに代入
-4=x²+3
x²=-7
解なし

よって、a=3 のとき、
共有点は1個で、(0 , 3) は接点です。
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x軸右側で1回、円周を放物線が横切るなら①の判別式:D>0


が必要条件です
このとき 得られる2つのyのうち1つが有効で
もう一つの有効でないyの解は、y=x^2+aへ代入したときxの解が虚数解になるはずで
結局 有効なものをy=x^2+aへ代入へ代入したxの解2つが 
左右両側での交点2か所のx座標になるはずです
ただDを使うと、さらなる条件が必要ですから
はなから ①を解の公式などで解いて
yの範囲が1つは-3~+3になり 他方の解はこれから外れるようなaの値を割り出すことになるのかもしれません
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2つの共有点でなくて交点?

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間違いた



先に述べた理由で
連立方程式をまとめた式が
2次方程式なら
共有点1こは交点にならず接点になりますよ
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この回答へのお礼

マスターコトーさん、ごめんなさい、回答を読んでさらに聞きたいことが出てきました。その前にですが、、、確かに連立方程式をまとめて2次方程式になったら、そのまとめた式から値がひとつだけ出てきたらそれはまとめる前の2つの図形が接することになりますね!そしてaの値によって(y軸左側だけみれば良い)yの値が2つ出てきて2つあった交点が近づいて1つなり、2つを結んでいた線が円の接線になることもイメージできました!それで質問なのですが、放物線と円が2つの交点を持つaの値の範囲を求めよという質問なら、これは図からではなく数式を使って求めに行った場合どのようになるのでしょうか?

お礼日時:2022/02/06 19:08

マスターコトー追記


先に述べた理由で
連立方程式をまとめた式が
2次方程式なら
共有点1こは交点にならず共有点になりますよ
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D>0でyの解が2つあれば 


たとえば y軸より左側において放物線と円との交点は2つですが
この2つの共有点の距離を徐々に縮めることをイメージです
すると、どんどん距離は近づき 2交点を結ぶ線分と2交点の間の円弧はどんどんみぢかくなり だんだん重なってきますよね
この2点がぴったり重なった時が
重解、D=0で
重解でないとき交点から交点までを結んでいた線分は
交点がぴったり重なった時には 重なった位置での放物線の接線になり
これはこの位置での円周の接線になっている
こんなメージがわくはずです
つまり重解なら必ず 2交点の距離が縮まって重なったという事なんで 
放物線と円弧は(y軸左側で)1点を共有し接線も共通なんでこれは交点でなく接点という事です!!

で、後半の質問
y-a=x^2という事なんで
yが一つ決まると xが2つ決まるのが大半ですよね!
yが1つ決まって実数xが一つ決まるのはy=aの時だけ限定なんで
さらに y=aの時という限定条件が加わらないと①のy解が1個でもxは1つにならないんです
つまり、y=aなのかそれ以外なのかで yの値に対するxの個数が変わるので場合若えです
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