滑車にかけられたおもりの問題

１つのなめらかで軽い滑車に糸をかけ、糸の両端に質量がそれぞれｍ、Ｍ（ｍ＜Ｍ）のおもりをつけて静かにはなす。おもりの加速度はいくらか。また、糸の張力はいくらか。

僕が考えた解答は以下のとおりです。

質量ｍのおもりに対する運動方程式は(張力Ｔ、重力加速度ｇとすると)

Ｔ-ｍｇ＝ｍ(-ａ)

質量Ｍのおもりに対する運動方程式は

Ｍｇ-Ｔ＝Ｍａ

しかし、解答を見てみると、
質量ｍのおもりに対しては
Ｔ-ｍｇ＝ｍａ
質量Ｍのおもりに対しては
Ｍｇ-Ｔ＝Ｍａ

となっていて、質量ｍに対する運動方程式の中で、加速度に-(マイナス)がついていません。
ｍ＜Ｍだから質量Ｍのおもりのほうが下に下がる。よって力が下向きに生じているため加速度の＋の方向を下向きとすると、質量ｍのおもりに生じる加速度は大きさは同じであるが向きが逆。したがってマイナスをつける・・・と考えたのですが、僕の考え方は、どこが間違っているのでしょうか？

また、糸の張力はどちらのおもりでも等しい、ということが良く理解できません。糸の両端に同じ大きさの力が働いているなら、両端の張力は等しいということは分かるのですが、なぜ、両端に大きさの違う力が働いていても張力は等しいのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/03/24 19:47

　

　
１．
　　　　T　　　T
　　　　↑　　↑
　　　　●　　●
　　　　↓　　↓
　　　　mg　　Mg

>>　加速度の＋方向を下向きとすると <<

　あなたは「加速度は下向きがプラス」と決めました。
　　↓
　加速度×質量＝力 だから、あなたが加速度を定めると
　　↓
　「力は下向きがプラス」も決まってしまうのでした。
　ゆえに、Tは上向きゆえマイナスで mgは下向きゆえプラス。
　結果、運動方程式は；

　　　糸の力＋重力 = 質量×加速度
　　　－T　　＋mg　 =　m(-a)

両辺にマイナスを掛けて

　　　　　　　 T－mg = ma
でした。


Mも
　　　糸の力＋重力 = 質量×加速度
　　　－T　　＋Mg　 =　M(+a)
ゆえ
　　　　　　　 Mg－T = Ma
でした。



２．
　糸のテンションTension の話；
高校生ですよね、受験物理レベルでは丸暗記してください。　高校で習う範囲でいくら工夫しても 証明できません（出来た！と思っても釈迦の掌上の孫悟空です。）　永久機関ができない理由とか 天秤やシーソーが釣り合う理由 などと同レベルですね。　（入試には出ませんが、そう言われるとますます見たくなったのなら、先ず「仮想変位」で検索して眺めてみてください。）
　
　

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
糸の張力って難しいものなんですね。
勉強してみます！

お礼日時：2005/03/27 08:17

No.3 回答者： kankororin 回答日時： 2005/03/24 19:31

　解答は、上向き下向き関係なく、双方の重りについて実際に運動が生じる方向を正にとっています。

もし上向きを正にとるならば、張力は共に上向きなわけですから：
質量ｍのおもりに対する運動方程式は(張力Ｔ、重力加速度ｇとすると)
Ｔ-ｍｇ＝ｍａ

質量Ｍのおもりに対する運動方程式は
T-Ｍｇ＝Ｍ(-ａ) （運動が下向きになるから）

と方程式を立てるべきでしょう。そうすると結果は回答と同じになりますね。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
良く理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/27 08:19

No.2 回答者： he-goshite- 回答日時： 2005/03/24 09:26

No.1です。

訂正：糸は張力をまっすぐ伝える働きしかありません。押す力を伝えることはできません。力の方向を変えるのは滑車の働きです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
糸の張力についてよく分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/03/27 08:20

No.1 回答者： he-goshite- 回答日時： 2005/03/24 09:20

おもりｍについての運動方程式を立てるとき，上向き方向をプラスと考えましたね。

だから，おもりに掛かる外力は，上向きのT，下向きのｍｇとなっています。
またおもりは上向きに加速度（ａ）をもつことは当然予想されるので，式は
外力＝Ｔ－ｍｇ＝ｍａ＝質量×加速度
となります。
同様に，おもりＭに関する運動方程式では，下向き方向をプラスにとって
いるので，
外力＝Ｍｇ－Ｔ＝Ｍａ＝質量×加速度
となっています。

高校レベルの力学で「軽い糸」は，力を伝えるが，しなやかで伸び縮みが無く質量ゼロの物体と考えます。その条件のもとで糸に関する運動方程式を考えると，
外力＝［おもりＭから受ける張力Ｔ1］－［おもりｍから受ける張力Ｔ2］＝［質量＝ゼロ］×加速度
となります。
糸は質量ゼロの物体ですから，この式から外力の合計（Ｔ1－Ｔ2）はゼロにならざるを得ません。
したがって糸の張力Ｔは，おもりＭ側でも，おもりｍ側でも（どこでも）等しいのです。

>なぜ、両端に大きさの違う力が働いていても張力は等しいのでしょうか？
上に書いたように「糸」は力の方向を変えて力の伝達をするだけの働きを持つものと考えてください。