過去にしてきた質問に対する解答に関して質問が以下の1〜7に関して解答を頂きたく思います。 時間のある

過去にしてきた質問に対する解答に関して質問が以下の1〜7に関して解答を頂きたく思います。
時間のある時で構いませんので答えて頂きたいです。

出来の悪さに皆様にご迷惑をお掛けしてしまっていますが、私なりに必死に理解に努めています。
どうかよろしくお願い致します。

1.
「f(z)=tan(z)
の
0<|z-π/2|<π
でのローラン展開は

f(z)=tan(z)
は
z=π/2で1位の極を持つから

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

n=-1の時

a(n)=a(-1)
=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
=...
=lim_{z→π/2}{-sin(z)}lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)

lim_{z→π/2}{-sin(z)}=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1だから

=-1

となります」について、
n≧0の時の計算は面倒なので計算しません」
に関して、なぜn≧0の時の計算は面倒なのでしょうか？n≧0の場合は
a(n)≠0となるとは限りません。
a(n)=0となるとは限りません。
について、いまいちピンときません。具体的な計算を用いて説明して頂けないでしょうか？



2.
「g(z)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
の形」に関して、
a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の右辺の(d/dz)の残りをg(z)として作ったのでしょうか？違う場合はa(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}のどのぶぶんをg(z)と置き換えたのでしょうか？


3.
「g(z)は|z-π/2|<πで正則だからテイラー展開できる
g(z)のテイラー展開は

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^m

0<|z-π/2|<πで
」に関して、g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^mを導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
また、なぜg(z)をテイラー展開したのでしょうか？


4.
「a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」に置いて、n≧-1の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂けますか？


5.
「a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」に関して、n=-1の時、a(-1)=-1となると思うのですが正しいでしょうか？


6.
「0<|z-π/2|<πに関して、z=π/2ですが、
0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πとなり変な不等号になりますが良いのでしょうか？
」について正しいかお答えして頂きたいです。


7.
「a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)」
に関して、Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)から
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となるまでの詳しい過程の計算を教えて頂けますか？

質問者からの補足コメント

• 4において、a(n)=(1/(n+1)!)g^(n+1)(π/2)を導くまでの計算をわかりやすく教えて頂きたいです。
  
  6において、z=π/2の時は0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πと矛盾しますが、
  z=π/2の時は|z-π/2|<πと言うことでしょうか？
  
  7において、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dzから、どのようにして=b(-1)に出来たのでしょうか？具体的な過程の計算を教えて下さい。
  
  8問目について、質問したいのですが、
  a(n)
  ={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz...①
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
  において、①から②までの詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

    補足日時：2022/07/10 18:12

• 補足で申し訳ありません。
  質問7において情報不足ゆえに求めていた解答とは異なっていたことが分かりました。
  f(z)=tan(z)についてのa(n)を求めるまでの解答を頂きたかったのですが、解答者様はf(z)=1/(z^2-1)についてのa(n)を求めていたようです。
  f(z)=tan(z)については過去の解答からa(n)の求め方はわかりました。ただ、f(z)=1/(z^2-1)ついてのa(n)を求める過程で疑問があります。

    補足日時：2022/07/12 07:18

• 質問7の解答について、
  「a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
  ↓f(z)=1/(z^2-1)だから
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
  ↓g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)とすると
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz」
  のように1/{(z+1)(z-1)^(n+2)をg(z)と置きましたが、
  
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)をg(z)と置いて、g(z)はz=-1の付近でローラン展開するためg(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^mと置けて、
  Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^mを展開するとb(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…になるのはわかります。

    補足日時：2022/07/12 07:19

• b(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…からa(n)=b(-1)となる過程の計算が知りたいです。
  
  
  後、質問7に関して、
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)をg(z)と置かずに、b(m)を使わずに、ローラン展開の公式f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^nとa(n)の式のみでa(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を導けるやり方があるならば、a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて下さい。
  
  
  ちなみに、f(z)=tan(z)についてのa(n)を求める際に場合のわけは0<|z-π/2|<πのみなのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/12 07:21

• 新しく質問9に関して、
  
  0<|z-π/2|<πの範囲、かつn≧-1の時はg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は分母により発散するため、a(n)
  =lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
  ...
  =lim_{z→π/2}{-sin(z)}(π/2-z)/sin(π/2-z)
  =lim_{z→π/2}{-sin(z)}lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)
  とa(n)の式がもとまるわけでしまうか？
  
  また、0<|z-π/2|<πの範囲かつn≦-2の時
  被積分関数g)d(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz→π/2の時収束するから
  コーシーの積分定理から
  a(n)=0となりわけでしまうか？

    補足日時：2022/07/12 10:22

• 質問10
  2022.7.7 10:17の
  「n≦-2の時
  a(n)=0を示すために
  コーシーの積分定理を使うために
  z=π/2でのg(z)の定義
  g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
  を
  定義する必要があるのだけれども
  
  n≧-1の時は
  a(n)≠0だから
  コーシーの積分定理を使わないのだから
  z=π/2でのg(z)の定義
  g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
  を
  定義する必要は無いのです」
  に関して、n≦-2の時
  a(n)が0だとわかっているのに、なぜg(z)の式を定義する必要があるのですか？
  また、n≧-1の時は
  g(z)の定義する必要はない理由がわかりません。a(n)が0以外の式だからこそ、g(z)の式を定義する必要があると思うのですが。なぜg(z)を定義する必要がないのですか？

    補足日時：2022/07/12 19:16

• 質問11
  f(z)=tan(z)のローラン展開について
  2022.7.7 19:47
  「n≦-2の時
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
  と
  「z≠π/2の時、g(z)=(z-π/2)f(z)」
  nの場合わけやzの場合わけによりg(z)の式が異なるのでしょうか？
  2022.7.11 09:25では「z≠π/2の時
  g(z)=(z-π/2)tan(z)」と定義していますが、これは実はn≦-2の時のg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)であり、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) にn=-2を代入した際の式がg(z)=(z-π/2)f(z)だと言っているのでしょうか？
  
  質問12
  f(z)=tan(z)のローラン展開に関してn≧-1の時はa(n)≠0ですが過去にn≧-1の時のf(z)=tan(z)のa(n)の式を求めた解答はありますか？

    補足日時：2022/07/12 19:18

• 質問9の解答に関して、
  
  「a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  となるのではありません
  =lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
  は間違いです」
  
  なるほど正しいa(n)の式は
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  なのですね？
  
  ちなみに、
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式がa(n)=0になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  また、0<|z-π/2|<πの範囲、n≧-1の時のa(n)の式を求めるまでの解答があれば教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/12 19:51

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/14 21:02

質問11

z≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)」と定義しているけれども

n≦-2の時のg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
とは
関係ありません
全然
別の話です
もうやめましょう

この回答へのお礼

では、z≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)はnの範囲はなんなのでしょうか？

ちなみに、res()=lim[z->a]d/dz((z-a)^2g(z))はどうやって導かれたのでしょうか？

res()=lim[z->a]d/dz((z-a)^2g(z))を導くまでの過程の計算を教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/14 21:08

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/14 20:32

「

n≦-2の時
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
」
と
「
z≠π/2の時、g(z)=(z-π/2)f(z)
」
の
g(z)
は
全く
違う
別の
ものです
混同しないでください
前者は積分を求めるためのものです積分を使わないのであれば不要
後者は難しい積分をしないでローラン展開を求めるためのもので
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
の両辺に(z-π/2)をかければ
g(z)を定義する必要はありません
どちらもg(z)は不要です

この回答へのお礼

質問11
f(z)=tan(z)のローラン展開について
2022.7.7 19:47
「n≦-2の時
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
と
「z≠π/2の時、g(z)=(z-π/2)f(z)」
nの場合わけやzの場合わけによりg(z)の式が異なるのでしょうか？
2022.7.11 09:25では「z≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)」と定義していますが、これは実はn≦-2の時のg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)であり、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) にn=-2を代入した際の式がg(z)=(z-π/2)f(z)だと言っているのでしょうか？

お礼日時：2022/07/14 20:56

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/13 09:55

質問10

f(z)=tan(z)
の
z=π/2の周り0<|z-π/2|<πでの
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
となる
z≠π/2の時被積分関数を
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
とする

n≦-2の時
z=π/2の時
g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
と定義すると
n≦-2の時
g(z)はz=π/2で正則だから
コーシーの積分定理から
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz=0
となるから
a(n)=0
とわかるのです
(なぜn≦-2の時a(n)=0となるのかの理由がわかっていないのですね)

n≦-2の時
a(n)=0
とわかる方法が他にあればg(z)の定義をする必要はありません

f(z)=tan(z)
z=π/2の周り0<|z-π/2|<πでの
ローラン展開は

tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

z→π/2の時左辺(z-π/2)tan(z)は-1に収束するから右辺も収束しなければならないから

n≦-2の時
a(n)=0
とならなければならないのです

もし
n≦-2の時
a(n)≠0と仮定すると
n+1≦-1
1≦-n-1
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)=lim_{z→π/2}1/(z-π/2)^(-n-1)=∞に発散するから
右辺が発散するので
右辺も収束することに矛盾するから

n≦-2の時
a(n)=0
とならなければならないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！質問11にも答えていただけるとありがたいです。
また、質問12
g(z)=tan(z)/(z-π/2)
-->これはtanzは1位の極なので実際は2位の極となり
res()=lim [z->a] d/dz(z-π/2)^2・g(z)...④となります

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

n≧-1の時、
res()=lim [z->a] d/dz(z-π/2)^2・g(z)
g(z)=tan(z)/(z-π/2)より、
res()=lim [z->a] d/dz(z-π/2)・tan(z)

n=2として、
res()=1/(2-1)! lim [z->a] (d/dz)^(2-1)(z-π/2)・tan(z)

res()=1/(n-1)! lim [z->a] (d/dz)^(n-1)(z-π/2)・tan(z)...③

と導けたと思ったのですが、
n=2の時のres(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)と③が一致しない事がわかりました。
どこで計算を間違ったのでしょうか？

お礼日時：2022/07/14 20:15

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/13 09:49

質問10

f(z)=tan(z)
の
z=π/2の周り|z-π/2|<πでの
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
となる
z≠π/2の時被積分関数を
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
とする

n≦-2の時
z=π/2の時
g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
と定義すると
n≦-2の時
g(z)は収束するから
コーシーの積分定理
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz=0
となるから
a(n)=0
とわかるのです
(なぜn≦-2の時a(n)=0となるのかの理由がわかっていないのですね)

n≦-2の時
a(n)=0
とわかる方法が他にあればg(z)の定義をする必要はありません

f(z)=tan(z)
z=π/2の周り|z-π/2|<πでの
ローラン展開は

tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

z→π/2の時左辺(z-π/2)tan(z)は-1に収束するから右辺も収束しなければならないから

n≦-2の時
a(n)=0
とならなければならないのです

もし
n≦-2の時
a(n)≠0と仮定すると
n+1≦-1
1≦-n-1
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)=lim_{z→π/2}1/(z-π/2)^(-n-1)=∞に発散するから
右辺が発散するので
右辺も収束することに矛盾するから

n≦-2の時
a(n)=0
とならなければならないのです

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 14:40

質問9に関して、

0<|z-π/2|<πの範囲、かつn≧-1の時はg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は分母により発散するため、

a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となるのではありません
=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
は間違いです

0<|z-π/2|<πの範囲、かつn≧-1の時はg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は分母により発散するため
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
としないのです

0<|z-π/2|<πの範囲、n≦-2の時　a(n)=0　となることがわかったのだから

f(z)=tan(z)
のローラン展開は
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
=
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…+a(n)(z-π/2)^n+…

↓両辺に　(z-π/2)　を　かけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…

↓両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+…

↓z→π/2とすると

lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)

↓両辺を(n+1)!で割ると

{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)

↓左右を入れ替えると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

となるのです

「
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
」は間違いです(n=-1の時だけしか等しくなりません)

lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
≠lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「質問9に関して、

0<|z-π/2|<πの範囲、かつn≧-1の時はg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は分母により発散するため、

a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
となるのではありません
=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
は間違いです」

なるほど、正しくはa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}だとわかりました。

ちなみに、質問9のg(z)の式を教えて頂けないでしょうか？

どいうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/12 18:25

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 14:14

7.

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
が
f(z)=1/(z^2-1)
の
ローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
の
a(n)
であるならば
z=1の周りの
|z-1|>2 でローラン展開する場合で
n≦-2の場合でなければ

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
とは
なりません。間違いです(情報不足等ではなく間違いなのです)

z=1の周りの
|z-1|>2 でローラン展開する場合で
n≦-2の場合
という
条件が必要なのです

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
を
z=1の周りの
|z-1|>2 でローラン展開する場合

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
r>2
C={z||z-1|=r}

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
-n-2≧0
1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)
だから
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)

g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)　は
r>2
閉曲線C={z||z-1|=r}の内側の領域
D={z||z-1|<r}での特異点(極)は
z=-1
だけだから
留数定理から
積分の範囲が
C={z||z-1|=r}から
0<s<1
{z||z+1|=s}に変わり、

a(n)=Res(g(z),-1)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)=Res({(z-1)^(-n-2)}/(z+1),-1)

↓留数定義から

a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz

z=-1はg(z)の1位の極で
g(z)の-1における留数は-1を中心とするローラン展開
g(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m=b(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…

このg(z)を
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
に
代入すると

a(n)
={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}(Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m)dz
={1/(2πi)}Σ_{m=-1～∞}b(m)∫_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz

m=-1　の時　∫_{|z+1|=s}{1/(z+1)}dz=2πi
m≧0　の時　∫_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz=0
だから

=
{1/(2πi)}
{
b(-1)∫_{|z+1|=s}{1/(z+1)}dz……→2πib(-1)になる
+b(0)∫_{|z+1|=s}{1}dz………………→0になる
+b(1)∫_{|z+1|=s}{(z+1)}dz……→0になる
+b(2)∫_{|z+1|=s}{(z+1)^2}dz……→0になる
+b(3)∫_{|z+1|=s}{(z+1)^3}dz……→0になる
…
}

={1/(2πi)}{2πib(-1)}
=b(-1)

だから

a(n)
=b(-1)
=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

また、質問6にも答えて頂けると助かります。

「0<|z-π/2|<πに関して、z=π/2ですが、
0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πとなり変な不等号になりますが良いのでしょうか？
」について正しいかお答えして頂きたいです。

お礼日時：2022/07/12 19:19

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 10:48

f(z)=tan(z)

を
z=π/2の周り0<|z-π/2|<πでローラン展開するのが目的なのです
ローラン展開とは
{tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから(n≦-2の時a(n)=0)}

tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…+a(n)(z-π/2)^n+…

の事です

z→π/2とすると　左辺も右辺も∞に発散するのです

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…+a(n)(z-π/2)^n+…

↓両辺に　(z-π/2)　を　かけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…

z→π/2とすると　左辺は-1に収束し,右辺はa(-1)=-1に収束するのです

だから

右辺は左辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開になるのです

だから

z≠π/2の時　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2の時 g(π/2)=-1
と
すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…
は
g(z)のテイラー展開
g(z)=g(π/2)+g'(π/2)(z-π/2)+(1/2)g"(π/2)(z-π/2)^2+(1/6)g"'(π/2)(z-π/2)^3+…+{1/(n+1)!}g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^(n+1)+…

に一致するのです

だから
n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)!}g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^(n+1)
と
なるのです
n≦-2の時a(n)=0

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 10:44

f(z)=tan(z)

を
z=π/2の周りでローラン展開するのが目的なのです
ローラン展開とは
{tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから(n≦-2の時a(n)=0)}

tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)+…+a(n)(z-π/2)^n+…

の事です

z→π/2とすると　左辺も右辺も∞に発散するのです

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)+…+a(n)(z-π/2)^n+…

↓両辺に　(z-π/2)　を　かけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…

z→π/2とすると　左辺は-1に収束し,右辺はa(-1)=-1に収束するのです

だから

右辺は左辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開になるのです

だから

z≠π/2の時　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2の時 g(π/2)=-1
と
すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…
は
g(z)のテイラー展開
g(z)=g(π/2)+g'(π/2)(z-π/2)+(1/2)g"(π/2)(z-π/2)^2+(1/6)g"'(π/2)(z-π/2)^3+…+{1/(n+1)!}g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^(n+1)+…

に一致するのです

だから
n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)!}g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^(n+1)
と
なるのです
n≦-2の時a(n)=0

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 10:41

f(z)=tan(z)

を
z=π/2の周りでローラン展開するのが目的なのです
ローラン展開とは
{tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから(n≦-2の時a(n)=0)}

tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)+…+a(n)(z-π/2)^n+…

の事です

z→π/2とすると　左辺も右辺も∞に発散するのです

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)+…+a(n)(z-π/2)^n+…

↓両辺に　(z-π/2)　を　かけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…

z→π/2とすると　左辺は-1に収束し,右辺はa(-1)=-1に収束するのです

だから

右辺は左辺(z-π/2)tan(z)のテイラー展開になるのです

だから

z≠π/2の時　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2の時 g(π/2)=-1
と
すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…+a(n)(z-π/2)^(n+1)+…
は
g(z)のテイラー展開
g(z)=g(π/2)+g'(π/2)(z-π/2)+(1/2)g"(π/2)(z-π/2)^2+(1/6)g"'(π/2)(z-π/2)^3+…+{1/(n+1)}g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^(n+1)+…

に一致するのです

だから
n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)}g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^(n+1)
と
なるのです
n≦-2の時a(n)=0

この回答へのお礼

質問7
「a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)」
に関して、Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)から
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となるまでの詳しい過程の計算を教えて頂けますか？

に関しては、f(z)=tan(z)のローラン展開に関する計算部分かと思ったらf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開に関する計算部分だとわかりました。

なにを勘違いしてf(z)=tan(z)の計算部分だと思ってしまったのか...

お礼日時：2022/07/12 21:03

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 03:55

違います

g(z)=tan(z)/(z-π/2)ではありません
z→π/2の時g(z)が発散してしまうから
絶対にg(z)=tan(z)/(z-π/2)ではありません

z→π/2の時g(z)が収束するために
g(z)=(z-π/2)tan(z)
としなければなりません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにg(z)=(z-π/2)tan(z)だと確認して理解できました。
ただ、g(z)=(z-π/2)^(n+1)tan(z)と定義しなかったのは何故ですか？n≦-2の時において、z→π/2の時にg(z)が発散してしまうためでしょうか？

また、g(z)のテイラー展開を作った理由を教えてください。テイラー展開を作らなくてもローラン展開やa(n)の式からa(n)=0になる事は導けるため、なぜg(z)のテイラー展開を作ったのかわかりません。

また、4と8については何とか自己解決出来ました。ですが、未だに7と6については解決していません。

どうかお力を貸してください。

お礼日時：2022/07/12 06:22