微分の問題です

次の方程式の実数解の個数はｋの値によってどのように変化するのか？
√(2x-1) - 2x=k
答え：k>-3/4のときはなし、k=-3/4, k<-1のとき1個、-1≦k<-3/4の時2個

私が解くとグラフがどうなるのか全くわかりません。
y'={1/√(2x-1)} -2　となります。
y'=0　のとき、ｘ=5/8, y(5/8)=-3/4 になります。
ここまでは普通にできます。
まずは、増減表を教えてもらいたいです。
まず、この手の問題でy''は必要ですか？グラフをつくるときに教科書に書かれてあったりなかったり、まちまちでどういうときにいるのかよくわかりません。
もちろん、変曲点が必要なときには必ずいるのがわかりますが。

私の問題はy'={1/√(2x-1)} -2　のときｘがどういう値でマイナスになるかです。
頭が痛くなりました。何か数字を代入すればいいのですが、この式は難しいし、
もっと何かいい方法がないかとグラフも考えると頭が破裂してしまいました。

√(2x-1) - 2x=kの式は　x≧1/2　を念頭にいれます。

y'={1/√(2x-1)} -2　

■増減表
x|...|1/2|...|5/8|...
ーーーーーーーー
y'|...|なし|...|0|.....
ーーーーーーーー
y|...|-1|......|3/4|

うーん、テキストでこれを表現するのも難しいです。
テキストで表を書く時はどうすればいのですか？

どうしてもy'={1/√(2x-1)} -2でｘの値でどう±になるのか頭がおかしくなりそうです。
y''だともって難しいです。
X²などの式でしたらグラフより簡単に推測できるのですが。
あと、y''は必要ですか？グラフを書くのは、上に凸とか下に凸とかがあったほうがいいですよね？

以上、増減表をつくってからグラフを書くやり方でやりたいと思っています。
昨晩これが解けなくて頭がおかしくなるかと思いました。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  すいません、試験前で他の科目に時間がかかっていて、
  こちらはもう少しお時間をください。
  
  必ず理解して返信します。

    補足日時：2022/07/31 23:07

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/31 13:43

手順ばっかりに気を取られて目的を見失ってはダメっす。

　yの増減表を作る目的はy(x)のグラフの概形を知りたいから。じゃあ、なんで概形が知りたいのかというと、y=kとなるxがいくつあるか数えるため。
　それが目的なんだから、滑らかな曲線で正確に描く必要なんかありません。曲線がドウ曲がってるかなんてことは関係ない。だから、y'（ましてy''なんか）の増減表は要りません。で、

　　定義域がx≧1/2であることを確認した。x=1/2 のときのy=-1である。
　　yが極値になるのはx = 5/8のときだけである。

と、ここまではできている。さて、
　
　yは連続関数ですから、「yが極値になるx」以外のxでは単調増加か単調減少だと分かる。なので、その極値が極大か極小かを調べるには（そのxでのy''の符号を見てもいいけれど、そんなことしなくたって）他の場所でのyの値と極値との大小を比べれば足ります。x=1/2でのyは既にわかっているんだから利用すればいいじゃん。
　これでyのグラフが描ける。こんなヘロヘロのグラフで用は足ります⇩