ベクトルと図形の問題で、 △OABの、辺OA、OB上にそれぞれ内分点P、Qがあって(比は分かっている

ベクトルと図形の問題で、

△OABの、辺OA、OB上にそれぞれ内分点P、Qがあって(比は分かっている)、AQとBPの交点をRとする。
ベクトルORは、比をおいて2つ式を立てることで、ベクトルOA,OBを使って表せます。これは分かります。

ここで、ORの延長とABの交点をDとするとき、ベクトルODを求める問題がよくあります。

OD=kORとおくと、「DはABの内分点だから、分母がベクトルOAとOBの係数の和になるように調整できる数字がkだな」と思うのですが、上手く記述できません。

しかし、そうであるのに、u:1-uとおく気にはなれません。。(模範解答集にはこちらが載っています)

筋の通った簡潔な書き方はありますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/01 14:30

OD = kOR = (1-u)OA + uOB を k,u の連立一次方程式として解くのが、

内容的にも簡明だし、何より答案の記述量が少なくて済む「筋の通った書き方」。
「u:1-uとおく気にはなれません」という奇妙な拘りを捨てたら、楽になる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。確かにわがままですよね。書かず嫌いは成長しないと先生にも言われたのを思い出しました。色々やってみます。

お礼日時：2022/08/03 11:54

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/01 15:12

＞OD=kORとおくと、「DはABの内分点だから、分母がベクトルOAとOBの係数の和になるように調整できる数字がkだな」と思うのですが、上手く記述できません。

そりゃそうです。
「R とはどういう点か」を定義してやらなければ、その k が決まりませんから。

「R とはどういう点か」は、「R は AB 上の点である」ということに尽きます。
「R は AB 上の点である」なら
　→AR = u→AB　(0≦u≦1)
と書きますよね？

そのときに、
　→AB = →OB - →OA
なので、
　→AR = u→AB = u→OB - u→OA
そして、
　→OR = →OA + →AR
　　　= →OA + u→OB - u→OA
　　　= (1 - u)→OA + u→OB

別に、闇雲に u：1 - u に分割しているわけではありません。
上のような意味です。


＞u:1-uとおく気にはなれません

だったら、
　AR : RB = p : q
とおけばよい。

そうすれば、
　→AR = [p/(p + q)]→AB = u→AB
なので、
　→RB = [q/(p + q)]→AB = {[(p + q) - p]/(p + q)}→AB
　　　　　　= {1 - p/(p + q)}→AB
　　　　　　= (1 - u)→AB
になります。

この回答へのお礼

これまでは解法をなぞって意味は考えていなかったので、（頭の中で）早く答えが出るやり方を見つけてしまい逆に混乱してしまっていました。丁寧な解説ありがとうございます。落ち着いて考えようと思います

お礼日時：2022/08/03 12:10