友人に次の式の値を訊かれましたが、答えられませんでした。

Σ(n^2x^n) (|x|<1),(n:1→∞)

対数を使用するかと思うのですが上手く値が出せません。
他にもΣx^k(k:1→n)を微分して、両辺にxをかけ、更に両辺を微分して、両辺にxをかけ…という方法も試したのですが、上手く収束しませんでした。

それほど難しい問題でもないと思うのですが……お願いします。

A 回答 (2件)

両辺にxをかけて、元の式からひいて整理すると、



求める和をMとして、

(1-x)M + n^2 x^(n+1) = Σ(2n-1)x^n

となると思いますので、
ここで右辺を再び、

N = Σ(2n-1)x^n とおくなどすれば、

再び両辺にxをかけて求められるかと思います。
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この回答へのお礼

ご回答有難うございます。まだ計算は終わっていませんが、おそらく解けるかと思います。
今回は本当に有難うございました。また何か機会がありましたら宜しくお願いします。

お礼日時:2005/04/14 00:15

Σ[0≦n]・x^n=1/(1-x)


の両辺をxで微分してできた等式の両辺にxをかけて再びxで微分する
そうしてできた等式の両辺にxをかける
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この回答へのお礼

>Σ[0≦n]・x^n=1/(1-x)
なるほど。部分和の段階でx^nを消去してしまえば後が楽なのですね。
どうも私は最後に極限をもってこようとするので、計算が煩雑になってしまいがちです。
今回はどうもありがとうございました。

お礼日時:2005/04/14 00:17

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