とあるサイトでマルコフの不等式について、X が連続型確率変数の場合の証明で、
E(|X|)=∫[-∞→∞]|x|f(x)dx
≧∫[-∞→-a]|x|f(x)dx+∫[a→∞]|x|f(x)dx
≧∫[-∞→-a]af(x)dx+∫[a→∞]af(x)dx
=aP(X≤−a)+aP(X≥a)
=aP(|X|≥a)
と示していました。
この、2、3段目の不等式
∫[-∞→-a]|x|f(x)dx+∫[a→∞]|x|f(x)dx
≧∫[-∞→-a]af(x)dx+∫[a→∞]af(x)dx
がなぜ成り立つかがわかりません
解説頂けると助かります。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
書いてないけど、f(x)は確率密度関数でしょう。
だから、∀x f(x)≧0 である。これが前提ですね。すると、a≧0のとき、∫[-∞→-a]|x|f(x)dx のxはx≦-aなので、|x|≧a。だからf(x)≧0より ∀x(x≦-a ⇒ |x|f(x) ≧ af(x)) なので
a≧0 ⇒ ∫[-∞→-a](|x|f(x) - af(x))dx ≧0
またa≧0のとき、∫[a→∞]|x|f(x)dxのxはx≧aなので、|x|≧aである。だからf(x)≧0より ∀x(x≧a ⇒ |x|f(x) ≧ af(x)) なので
a≧0 ⇒ ∫[a→∞](|x|f(x) - af(x))dx ≧ 0
です。(a<0の場合はもちろんこれではダメです。)
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