分数不等式 (x＋2)/(x−2)≦−1 場合分けしての解法を教えて頂きたいです

分数不等式

(x＋2)/(x−2)≦−1

場合分けしての解法を教えて頂きたいです

No.1 ベストアンサー 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/26 19:10

与えられた不等式は以下のようになります。

(x+2)/(x-2) <= -1

まず、不等式の左辺に現れる分数を展開します。

(x+2)/(x-2) = x/(x-2) + 2/(x-2)

次に、不等式の両辺から-1を引きます。

(x/(x-2) + 2/(x-2)) + 1 <= 0

上式を整理すると以下のようになります。

(x+2)/(x-2) + 1/(x-2) <= 0

ここで、場合分けを行います。不等式の左辺の分母(x-2)が正の場合と、負の場合に分けて考えます。

【X-2が正の場合】

この場合、x>2となります。不等式の左辺に現れる分数(x+2)/(x-2)は正の値を取ります。従って、不等式は以下のようになります。

1/(X-2) <= -1

両辺に(x-2)を掛けて整理すると、

1 <= -1(X-2)

1 <= -x+2

x <= -1

よって、xは2より大きく、-1以下の値を取ることができます。

【X-2が負の場合】

この場合、x<2となります。不等式の左辺に現れる分数(x+2)/(x-2)は負の値を取ります。従って、不等式は以下のようになります。

1/(X-2) >= -1

両辺に(x-2)を掛けて整理すると、

1 >= -1(X-2)

1 >= -x+2

x >= -1

よって、xは2より小さく、-1以上の値を取ることができます。

以上の結果をまとめると、xの解は以下のようになります。

-1 <= x < 2, x > 2

つまり、不等式の解は、-1より大きい、2より大きい、または-1から2の間の実数の範囲となります。