通過領域に関する記述について

以下の問いに対する解答の一部が論理的に正しいか確認してください。
問
「aが全実数を動くとき、y=2ax+a^2-☆の通過する領域Wを求めよ。」

解答の一部 「W=｛(x,y)|y=2x+1∨…y=4x+1∨…｝(注1)である。
｛(x,y)|y=2x+1またはy=4x+1または…｝
=(注2)｛(x,y)|∃a∈R y=2ax+a^2｝」

(注1) 条件式として、aに全ての実数を代入した☆の式が∨で繋がれている (一例としてaに自然数を代入したものを羅列しているが、実際はすべての実数aが代入されたものが書かれている。)
(注2)∃xP(x)<=>P(x1)∨P(x2)∨…を利用した

以上です。よろしくおねがいします。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/04 16:37

y=2ax+a^2

=(x+a)^2-x^2
≧-x^2

y≧-x^2

だから

W⊂{(x,y)|y≧-x^2}

y≧-x^2 とすると

y+x^2≧0
だから
a=-x+√(y+x^2)
とすると
x+a=√(y+x^2)
(x+a)^2=y+x^2
x^2+2ax+a^2=y+x^2
2ax+a^2=y
y=2ax+a^2
だから

W={(x,y)|y≧-x^2}

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/01 23:28

> ∃xP(x)<=>P(x1)∨P(x2)∨…

これは誤り。

> W=｛(x,y)|y=2x+1∨…y=4x+1∨…｝

も同じことだが、論理式が無限の長さを持つことはないから、| の右に書いてあるのは論理式ではない。（もちろん、「論理的に正しい」わけがない。）
　仮に百歩譲って、 ∨ で無限個の項をつないだものも論理式として認めたとしても、それで並べられる項の個数は高々可算無限個。でも実数は非可算無限個あるから、aのとりうる値全部を並べ尽くせない。というわけで、やっぱり論理式にならない。

　　W=｛(x,y)|∃a(a∈R ∧ y=2ax+a^2)｝
と書かないとね。もちろんこれは問題を言い換えただけだが。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/01 22:55

(注2)の記述は正しいが、そうなるような W を求めて示せって問題でしょ。

(注2)は、スタートであってゴールではない。

(注1)の書き方では、(注2)の「∃a∈R」の部分が表現できてるとは言えない。
｛(x,y)|∃a∈{2,4,...} y=2ax+a^2｝ と書いてるようなもんなので、
その書き方で {2,4,...} が R に見えるか？ って問題点がある。