整数問題 12 平方

x²-6x+1 が負でない整数 n の平方 n² となるような整数値 x を求めよ.

補足

私には、始めてみる問題パターンです

与式を n² と置いてみる

それくらいしか浮かびませんが、、、、

識者の方の考え方を教えていただけると幸いです。

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  syotao先生、お久しぶりです
  
  お元気でしたか？
  
  偶には顔出してくださいよ
  
  私は、友達もいないし、、孤独な毎日なんですよ
  
  この問題、直ぐに解けるのですが、もう少し詰めてみます
  
  その際には、先生、
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  
  from　minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/02 14:38

• 

  教授
  
  おはようございます
  
  昨日は遅くまで本当にありがとうございました
  
  この問、正解は私でも直ぐにでも出さるのですが
  
  納得がいかず、試行錯誤中です、
  
  答案が出来次第、教授にご評価、頂きたいです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/03 09:13

• 

  お久しぶりです。
  
  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 08:56

• 

  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 08:57

• 

  お久しぶりです
  
  ご回答ありがとうございます
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 09:00

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 09:02

• 

  syotao先生
  おはようございます。
  
  本日もよろしくお願いいたします
  
  一日中昨日は横になっていて、今日は気力十分です
  
  答案、書き直しました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/10 06:02

• 教授こんにちは。
  
  本日もお世話になっております
  
  ご指摘の
  
  >n^2=-2となってn^2≧0に矛盾するからその方法は間違い
  
  ですが、n²=-2 でなければ①と②は同じ公約数を持たないわけですよね
  
  それでは①と②は同じ公約数を持たないわけです
  
  私は、同じ公約数を持つことを使い本問を議論しているのです
  
  似た問題で議論をするとこういう意味のない議論に発展しやすいので
  
  本題で議論していただけると幸いです。
  
  from minamino

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/10 13:55

• 

  少し早いですが、
  
  教授おはようございます！
  
  昨日は遅くまでありがとうございます
  
  早速ですが私の見解です

  
  No.20の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/11 04:00

• お疲れ様です。
  
  最後のつもりでいたってsimpleに纏めてみました
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.22の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/11 13:57

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/02 13:57

＞ 与式を n² と置いてみる

のがいいと思います。
x² - 6x + 1 = n² を満たす整数 x,n の組を求めるってことですよね。

この式を x の二次方程式と見て、解公式で強引に解くと
x = 3 ± √(3² - (1 - n²)) = 3 ± √(8 + n²) です。
x が整数である条件は、√(8 + n²) が整数であることですよね？

ここで k = √(8 + n²) と置いてみましょう。
両辺を二乗して変形すると (k + n)(k - n) = 8 になります。　←[1]
k = √(8 + n²) > √(0 + n²) = n であることは解っていますし、
k + n > k - n でもありますから、
[1] を満たす 8 の積分解は (k+n,k-n) = (8,1), (4,2) のみで、
そのとき (k,n) = (9/2, 7/2), (3, 1) です。
k, n が整数になっているのは、 (k,n) = (3,1) だけですね。

原式に n = 1 を代入してみると、
x² - 6x + 1 = 1 となって、対応する x = 0, 6 はちゃんと整数になっています。
答えは、x = 0, 6.

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/05/02 13:58

(ｘ-3)²-8=n² a=x-3

a²-n²＝８
(a-n)(a+n)=8
あとは、整数の組み合わせ入れていけば、できそう

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/02 14:26

これはA²-B²＝Cというパターンの問題だから

(A-B)(A+B)＝CとすればA-B、A+BがCの約数というふうに
条件が制限されるから解けますよー。
確か前の劇難の問題とやり方同じです。
ちなみにぼくは劇難の問題解けませんでした泣

この回答へのお礼

先生、おはようございます

昨日は遅くまで申し訳ございません

私の答案こちらで失礼します

https://imgur.com/a/h5V0ECe

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/08 09:08

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/05/02 15:29

x^2-6x+1=(x-3)^2-8=n^2

と変形。

(x-3)^2-n^2=(x-3-n)(x-3+n)=8

かけて8になる整数(x-3-n,x-3+n)の組み合わせは
(-8,-1)(-4,-2)(1,8)(2,4)
の4通り。(n≧0よりx-3-n≦x-3+nが成り立ちます)

x-3-nとx-3+nの差は2n。差が偶数の組み合わせはさらに絞られる。
上の考え方から組み合わせを決めるとnは自動的に決まる。
xも簡単に得られるでしょう。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/02 16:18

x^2-6x+1=n^2

(x-3)^2-8=n^2
(x-3)^2-n^2=8
(x-3-n)(x-3+n)=8

(x-3-n)(x-3+n)=1*8
x-3-n=1,x-3+n=8のとき
2x-6=9
2x=15不適

(x-3-n)(x-3+n)=2*4
x-3-n=2,x-3+n=4のとき
2x-6=6
2x=12
x=6……(答)

(x-3-n)(x-3+n)=(-8)(-1)
x-3-n=-8,x-3+n=-1のとき
2x-6=-9
2x=-3不適

(x-3-n)(x-3+n)=(-4)(-2)
x-3-n=-4,x-3+n=-2のとき
2x-6=-6
x=0……(答)

∴
x=0.または.x=6

この回答へのお礼

教授こんにちは。

私の答案

こちらで失礼します

https://imgur.com/a/h5V0ECe

何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2023/05/08 09:07

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/03 17:10

x^2 - 6x + 1 = (x-3)^2 + 8 が平方数で, x が整数だから (x-3)^2 も平方数. つまり

平方数+8 = 平方数
という形なんだが, 5^2 - 4^2 = 9 だからこの右辺の「平方数」は高々 4^2 = 16. 一方もちろん 8以上でなければならず, 3^2 = 9 か 4^2 = 16 のどちらかでなければならない. それぞれで考えれば
1^2 + 8 = 3^2
だけが可能で, このとき
x^2 - 6x + 1 = 1
だ.

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/08 13:42

← 05/08 09:00 の補足

随分とまた奇天烈な答案だなあ...

（参2) や ① が急にどこから出てきたのか面食らうが、
その辺の経過は、実はそもそも必要が無い。
「x^2-6x と n^2-1 の公約数のひとつは x^2-6x」と言うためには、
x^2-6x = n^2-1 の式だけで十分だからだ。
A = B ならば、A と B の最大公約数は A である。

その次の「(参１)から x^2-6x=0」は、根拠が全く判らない。
根拠書いてないし。

答案としては、全く駄目だと思う。

この回答へのお礼

君の数学レベルで言われたカネヨ

お礼日時：2023/05/08 13:48

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/08 22:03

お礼2023/05/08 09:07について

x^2-6x=n^2-1 …(参1)
から
なぜ
x^2-6x=0
と
いえるのか証明が無いので間違い
証明してください

この回答へのお礼

教授こんにちは。

この前は、少し、生意気なことを言ってごめんなさい。

補足回数に限界があるのでこちらで失礼します

https://imgur.com/a/JKTcOGK

ご評価、ご指導ください

お礼日時：2023/05/10 06:11

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/09 12:12

引用先のあなたの解答がよくわからんのです：

あなたの解答文の4行目と5行目がなぜそうなるか
くわしく説明してくれませんか？

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/09 13:44

ほら、みな同じことを言っている。

この回答へのお礼

補足回数に限界があるので

こちらで失礼します

https://imgur.com/a/JKTcOGK

ありものがたりさんのことは個人的に好きですよ

数学に果敢に向かう姿勢とか好きですね

でも、ひと言いつも多いですよね

ま、そこが可愛いところですが


ご評価、ご指導ください

お礼日時：2023/05/10 06:08