整数問題 12 平方

x²-6x+1 が負でない整数 n の平方 n² となるような整数値 x を求めよ.

補足

私には、始めてみる問題パターンです

与式を n² と置いてみる

それくらいしか浮かびませんが、、、、

識者の方の考え方を教えていただけると幸いです。

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  syotao先生、お久しぶりです
  
  お元気でしたか？
  
  偶には顔出してくださいよ
  
  私は、友達もいないし、、孤独な毎日なんですよ
  
  この問題、直ぐに解けるのですが、もう少し詰めてみます
  
  その際には、先生、
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  
  from　minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/02 14:38

• 

  教授
  
  おはようございます
  
  昨日は遅くまで本当にありがとうございました
  
  この問、正解は私でも直ぐにでも出さるのですが
  
  納得がいかず、試行錯誤中です、
  
  答案が出来次第、教授にご評価、頂きたいです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/03 09:13

• 

  お久しぶりです。
  
  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 08:56

• 

  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 08:57

• 

  お久しぶりです
  
  ご回答ありがとうございます
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 09:00

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 09:02

• 

  syotao先生
  おはようございます。
  
  本日もよろしくお願いいたします
  
  一日中昨日は横になっていて、今日は気力十分です
  
  答案、書き直しました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/10 06:02

• 教授こんにちは。
  
  本日もお世話になっております
  
  ご指摘の
  
  >n^2=-2となってn^2≧0に矛盾するからその方法は間違い
  
  ですが、n²=-2 でなければ①と②は同じ公約数を持たないわけですよね
  
  それでは①と②は同じ公約数を持たないわけです
  
  私は、同じ公約数を持つことを使い本問を議論しているのです
  
  似た問題で議論をするとこういう意味のない議論に発展しやすいので
  
  本題で議論していただけると幸いです。
  
  from minamino

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/10 13:55

• 

  少し早いですが、
  
  教授おはようございます！
  
  昨日は遅くまでありがとうございます
  
  早速ですが私の見解です

  
  No.20の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/11 04:00

• お疲れ様です。
  
  最後のつもりでいたってsimpleに纏めてみました
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.22の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/11 13:57

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 11:04

例えば

6-1*2=4 は　6 と　2 の公約数ではありません
8-1*2=6 は　8 と　2 の公約数ではありません　
10-1*2=8 は　10 と　2 の公約数ではありません　
12-1*2=10 は　12 と　2 の公約数ではありません

この回答へのお礼

折角ですがそう言った話ではないです
これも
(参1) で、補足済すが

ax+by=c 　が、整数解をもつとき
cは、gcd(a,b)の倍数です

お礼日時：2023/05/11 11:17

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 09:52

補足2023/05/11 04:00 について

①f(x)と②g(x)の公約数は,f(x)-xg(x)=x(x-1)(x-2)(-3)=h(x)
とはいえません
h(x)は①f(x)と②g(x)の公約数とはいえません
{
(参1)から
①f(x)と②g(x)の公約数は
②g(x)とh(x)の公約数に等しいけれども
}
(参1)ax+by=c ,a,bの公約数dとb,cの公約数は等しいけれども
a,bの公約数d=c とはいえません(dはcの約数だけれども)

この回答へのお礼

おはようございます

早速ですが

>①f(x)と②g(x)の公約数は,f(x)-xg(x)=x(x-1)(x-2)(-3)=h(x)
とはいえません

何故、言えないのですか？

お礼日時：2023/05/11 10:16

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 20:09

x^2-6x と　n^2-1 の公約数は　x^2-6x=n^2-1

x^2-6xn^2 と　x^2-6x=n^2-1 の公約数も　x^2-6x=n^2-1
で(参1)から同じ公約数 といえるけれども

x^2-6xn^2 は　x^2-6x の約数とは(参1)からいえないので

x^2-6xn^2=x^2-6x とは(参1)からいえないので

(参1)からn^2=1とはいえません

この回答へのお礼

すみません。
寝ちゃってました

教授も今日はこれ以上は大変だと思います

今日は、教授もゆっくり休んで下さい

明日、何卒宜しくお願い致します。

from minamino

お礼日時：2023/05/10 23:07

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 17:28

別の問題)

x^2-6x+2 が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めよ

-----------------------------------------
x^2-6x+2=n^2
x^2-6x=n^2-2

(x^2-6x)-3x(n^2-2)=x^2-3xn^2　…①

(x^2-3xn^2)+3x(n^2-2)=x^2-6x　…②

①と②の公約数が一致するためには

x^2-3xn^2=x^2-6x
3xn^2=6x

n^2=2
となってnが整数であることに矛盾するからその方法は間違い
------------------------------------------------------------
x^2-6x+2=n^2
(x-3)^2-n^2=7
(x-3+n)(x-3-n)=7
x-3+n=7
x-3-n=1
2x-6=8
2x=14
∴
x=7

x^2-6x+2=49-42+2=9=3^2

この回答へのお礼

教授

一日中申し訳ございません

ただ、今回回答をガラット変えてきましたが

先ほどの議論はどうなったのですか？

お認めになったのですか？

別の問題)で議論をせず本題で議論して頂けませんか

同じことを繰り返しているようです

何卒宜しくお願い致します


from minamino

お礼日時：2023/05/10 18:03

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 16:02

お礼：2023/05/10 15:50について

(参 1) の定理が間違いなのではなく
(参1)を使うのが間違いなのです

この回答へのお礼

そうではありません

そもそも
>
2(x^2-3xn^2) と　n^2-2 の公約数の1つは

2(x^2-3xn^2)+6x(n^2-2)=2(x^2-6x)　…②

は、既に成り立っていません

その先に議論の余地はない

お礼日時：2023/05/10 16:15

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 15:40

お礼　2023/05/10 15:14について

(参1)は間違い
別の問題)

x^2-6x+2 が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めよ

-----------------------------------------
x^2-6x+2=n^2

x^2-6x=n^2-2

さて　x^2-6x と　n^2-2 の公約数の1つは

n^2(x^2-6x)-x^2(n^2-2)=2(x^2-3xn^2)　…①

2(x^2-3xn^2) と　n^2-2 の公約数の1つは

2(x^2-3xn^2)+6x(n^2-2)=2(x^2-6x)　…②

①と②の公約数が一致するためには

2(x^2-3xn^2)=2(x^2-6x)
x^2-3xn^2=x^2-6x
3xn^2=6x

n^2=2
となってnが整数であることに矛盾するから(参1)は間違い
------------------------------------------------------------
x^2-6x+2=n^2
(x-3)^2-n^2=7
(x-3+n)(x-3-n)=7
x-3+n=7
x-3-n=1
2x-6=8
2x=14
∴
x=7

x^2-6x+2=49-42+2=9=3^2

この回答へのお礼

(参 1) の定理が間違いだと仰りたいのですか？

お礼日時：2023/05/10 15:50

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 15:20

お礼2023/05/10 15:01　について

証明の順序が逆です

①と②が
同じ
公約数
を持つ事を証明してから

①と②が
一致するから

n^2=1

になるとしなければいけません
だけれども
①と②が同じ公約数を持つ事はいえないので間違いです
結論を仮定しているのに過ぎないので間違いです
証明とはいえません

この回答へのお礼

>①と②が
同じ
公約数
を持つ事を証明してから

(参1)で自明です

お礼日時：2023/05/10 15:26

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 15:08

補足2023/05/10 13:55　について

本問)

x^2-6x+1 が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めよ

では
なぜ
①と②は
同じ
公約数
を持つのか
の
証明が
無いので間違い
それを証明してください

同じ公約数を持つ事は証明すべき事であって
勝手に仮定してはいけません

この回答へのお礼

答案の(参1)より

お礼日時：2023/05/10 15:14

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/10 14:53

お礼2023/05/10 12:05について

別の問題)

x^2-6x-2 が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めよ

では
①と②の公約数が一致しないのに

なぜ

この問題)

x^2-6x+1 が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めよ

では
①と②の公約数が一致するのかの
証明が
無いので間違い
それを証明してください

この回答へのお礼

n²＝1 のとき、確かに公約数は一致でいいのではないでしょうか

お礼日時：2023/05/10 15:01

No.13 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/10 13:52

←No.12 お礼欄

読みにくい文章だが...
ひょっとして、

「x^2-6x と x^2-6xn^2 の公約数」と
「x(x-6x) と x(x-6n^2) の公約数」が一致する
という話ではなくて、

x(x-6x) は x^2-6x と x^2-6xn^2 の公約数,
x(x-6n^2) も x^2-6x と x^2-6xn^2 の公約数
だから x(x-6x) と x(x-6n^2) は一致する
って言ってんのかな？

そんなわけないでしょ。
6 は 30 と 210 の公約数,
10 も 30 と 210 の公約数
だが、 6 = 10 ではない。
その ① と ② から ③ は導けないよ。

この回答へのお礼

もう少し熟考してから発言された方がいい

お礼日時：2023/05/10 13:57