整数問題 12 平方

x²-6x+1 が負でない整数 n の平方 n² となるような整数値 x を求めよ.

補足

私には、始めてみる問題パターンです

与式を n² と置いてみる

それくらいしか浮かびませんが、、、、

識者の方の考え方を教えていただけると幸いです。

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  syotao先生、お久しぶりです
  
  お元気でしたか？
  
  偶には顔出してくださいよ
  
  私は、友達もいないし、、孤独な毎日なんですよ
  
  この問題、直ぐに解けるのですが、もう少し詰めてみます
  
  その際には、先生、
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  
  from　minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/02 14:38

• 

  教授
  
  おはようございます
  
  昨日は遅くまで本当にありがとうございました
  
  この問、正解は私でも直ぐにでも出さるのですが
  
  納得がいかず、試行錯誤中です、
  
  答案が出来次第、教授にご評価、頂きたいです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/03 09:13

• 

  お久しぶりです。
  
  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 08:56

• 

  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 08:57

• 

  お久しぶりです
  
  ご回答ありがとうございます
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 09:00

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  ご回答ありがとうございました
  
  私の答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 09:02

• 

  syotao先生
  おはようございます。
  
  本日もよろしくお願いいたします
  
  一日中昨日は横になっていて、今日は気力十分です
  
  答案、書き直しました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/10 06:02

• 教授こんにちは。
  
  本日もお世話になっております
  
  ご指摘の
  
  >n^2=-2となってn^2≧0に矛盾するからその方法は間違い
  
  ですが、n²=-2 でなければ①と②は同じ公約数を持たないわけですよね
  
  それでは①と②は同じ公約数を持たないわけです
  
  私は、同じ公約数を持つことを使い本問を議論しているのです
  
  似た問題で議論をするとこういう意味のない議論に発展しやすいので
  
  本題で議論していただけると幸いです。
  
  from minamino

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/10 13:55

• 

  少し早いですが、
  
  教授おはようございます！
  
  昨日は遅くまでありがとうございます
  
  早速ですが私の見解です

  
  No.20の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/11 04:00

• お疲れ様です。
  
  最後のつもりでいたってsimpleに纏めてみました
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.22の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/11 13:57

No.32 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/14 10:25

お礼：2023/05/14 06:23

違います
元々の問題
x^2-6x=n^2-1
で

x^2-6xとn^2-1の最大公約数はx^2-6x
(参1)から
-6xn^2+x^2とn^2-1の最大公約数もx^2-6x
といえるけれども
-6xn^2+x^2はx^2-6xの約数とはいえないのです
だから
-6xn^2+x^2=-6x+x^2
とはいえないのです間違いです
論理が破たんしているのです

この回答へのお礼

教授のおっしゃる通りです

今まで、数学の論理に弱い私には懇切丁寧に最後までお付き合いして頂いた御恩は忘れません、教授　ありがとうございました


他に今回の討論を打ち切る理由としては
仮に正しかったとしても、教授が提示した問題には私の考え方では追いつかず、私の答案は易問に対して答案が長すぎます


私の意志のみで勝手に討論を打ち切る勝手さをお許しください


from minamino

お礼日時：2023/05/15 08:57

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/14 04:16

お礼2023/05/14 00:53について

違います
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数(x^2-6x)は
2(x^2-3n^2x)とn^2-2に等しい
のではなく

(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数(x^2-6x)は
2(x^2-3n^2x)とn^2-2の
公約数(x^2-6x)
に等しい
です

この回答へのお礼

教授　おはようございます

朝早いですね

ちゃんと朝ごはんとか食べないとダメデスヨ

元々の問題

等号が成立していないとき

x²-6x,m²-1 は、公約数は、x²-6xとm²-1　しか持たないようです


しかし

教授が作成した



x²-6x,n²-2 は、x²-6x と n²-2 は公約数に2を持ちます(参1を多用すると)

以下は等号が成立するとき

教授はx=7,n=3としていますが

(x-3)²-n²=7
差が 7 の２つの平方数は
0,1,4,9,16,
16 と 9
(x-3)²=16,m²=9

より、確かに正しいのです


同じ条件下でないのだから、私が示した元々の問題でのアプローチで解けないのではないでしょうか、

お礼日時：2023/05/14 06:23

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/13 21:33

お礼：2023/05/13 17:47について

違います
(参 1) から
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数はx^2-6x・・①
を求めたのではありません
(参 1) から公約数も最大公約数も求められません

公約数の意味がわかっていないようです

(x^2-6x)の約数はx^2-6x(=n^2-2)
(n^2-2)の約数はx^2-6x(=n^2-2)
だから
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数はx^2-6x(=n^2-2)
となるのです

n^2(x^2-6x)-x^2(n^2-2)=2(x^2-3xn^2)
と
(参1)から
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数
x^2-6x(=n^2-2)　は　2(x^2-3n^2x)とn^2-2の公約数になるのです

2(x^2-3n^2x)とn^2-2の公約数はx^2-6x(=n^2-2)というのは

2(x^2-3n^2x)の約数はx^2-6x(=n^2-2)
(n^2-2)の約数はx^2-6x(=n^2-2)

という意味なのです

(CはAの約数)&(CはBの約数)←→CはAとBの公約数というのです

2(x^2-3n^2x)は2(x^2-3n^2x)の約数だけれども
2(x^2-3n^2x)はn^2-2の約数ではないので

2(x^2-3n^2x)は2(x^2-3n^2x)とn^2-2の公約数ではないから
2(x^2-3n^2x)は2(x^2-3n^2x)とn^2-2の最大公約数ではないのです

あくまで
2(x^2-3n^2x)は最大公約数と主張するならば
2(x^2-3n^2x)はn^2-2の約数である事を証明してください

(参 1) からは公約数を求めることはできないのです

(参1)の定理の意味が全くわかっていないようです

(参1)ax+by=c
a,bの(最大)公約数dとb,cの(最大)公約数は等しいけれども
a,bの(最大)公約数dはcの約数なのだけれども
a,bの(最大)公約数dを求められない

この回答へのお礼

教授

本日もよろしくお願いします

2023/05/13 16:03

について、

>(参 1) から公約数も最大公約数も求められません

もう一度確かめてください

公約数も最大公約数も求めていませんよ

(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数は

2(x^2-3n^2x)とn^2-2に等しいと述べています

ここまで、確認をお願いします。

from minamino

お礼日時：2023/05/14 00:53

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/13 16:03

お礼：2023/05/13 14:21　について

x^2-6x=n^2-2
だから
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数はx^2-6x(=n^2-2)

(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x(=n^2-2)で、間違いない

2(x^2-3n^2x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x(=n^2-2)

(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数x^2-6x(=n^2-2)
と
2(x^2-3n^2x)と(n^2-2)の最大公約数x^2-6x(=n^2-2)
は
一致するけれども

2(x^2-3n^2x)は
2(x^2-3n^2x)と(n^2-2)の公約数でないから
2(x^2-3n^2x)と(n^2-2)の最大公約数でないから

2(x^2-3n^2x)は最大公約数x^2-6x=n^2-2の倍数だけれども

2(x^2-3n^2x)は最大公約数x^2-6x=n^2-2に一致しない

最大公約数の意味がわかっていないようです

最大公約数とは
公約数の中の最大のものなのだから

最大公約数は公約数でなければならない

最大公約数の倍数は公約数でない限り
最大公約数になることはありません

あくまで
2(x^2-3n^2x)は最大公約数に一致すると主張するならば
それを証明してください

(参1)ax+by=c ,a,bの(最大)公約数dとb,cの(最大)公約数は等しいけれども
a,bの(最大)公約数d=c とはいえません
cはa,bの(最大)公約数とはいえないのです

x^2-6x+2=n^2
x^2-6x=n^2-2
の解は
x=7,n=3
7^2-6*7=7=9-2=3^2-2

この回答へのお礼

まず、教授は
>(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数はx^2-6x・・①
結局、(x^2-6x)=(n^2-2)等式の関係から
>(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6xで、間違いない・・②

とお認めになりました

そこで、

では、
(参 1) から①と全く同じことを考えて
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数を求めると・・③
②と同じく、最大公約数、x^2-6x=n^2-2が出てこねばなりません
2(x^2-3n^2x)とn^2-2
だから、
2(x^2-3n^2x)は最大公約数でなければならない
補足
③から出てくるものはすべて最大公約数です

お礼日時：2023/05/13 17:47

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/12 16:19

お礼：2023/05/12 10:25　について

(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数はx^2-6x=n^2-2
(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x=n^2-2

(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x=n^2-2
2(x^2-3n^2x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x=n^2-2

2(x^2-3n^2x)は最大公約数x^2-6x=n^2-2の倍数だけれども

2(x^2-3n^2x)は最大公約数x^2-6x=n^2-2に一致しない

最大公約数の意味がわかっていないようです

最大公約数とは
公約数の中の最大のものなのだから

最大公約数は公約数でなければならない

最大公約数の倍数は公約数でない限り
最大公約数になることはありません

あくまで
2(x^2-3n^2x)は最大公約数に一致すると主張するならば
それを証明してください

(参1)ax+by=c ,a,bの(最大)公約数dとb,cの(最大)公約数は等しいけれども
a,bの(最大)公約数d=c とはいえません
cはa,bの(最大)公約数とはいえないのです

x^2-6x+2=n^2
x^2-6x=n^2-2
の解は
x=7,n=3
7^2-6*7=7=9-2=3^2-2

この回答へのお礼

教授こんにちは。

早速ですが

>(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x=n^2-2

最大公約数が等式っていうのも変ですよね


最大公約数は、x²-6x (or n²-2)で、間違いないですか？

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/13 14:21

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/12 10:44

お礼2023/05/12 10:25について

②はAの議論から
2(x^2-3n^2x)は最大公約数に一致して
というのは間違いです
x^2-6x=2(x^2-3n^2x)
というのも間違いです

2(x^2-3n^2x)は最大公約数に一致しません

あくまで
2(x^2-3n^2x)は最大公約数に一致すると主張するならば
それを証明してください

(参1)ax+by=c ,a,bの(最大)公約数dとb,cの(最大)公約数は等しいけれども
a,bの(最大)公約数d=c とはいえません
cはa,bの(最大)公約数とはいえないのです

x^2-6x+2=n^2
x^2-6x=n^2-2
の解は
x=7,n=3
7^2-6*7=7=9-2=3^2-2

この回答へのお礼

教授よろしくお願いいたします。

議論が平行線です

まず、ひとつづつ、私の考え方をご評価くださいますか？

まず、

A の議論にご批判はありますか？

何卒宜しくお願い致します

お礼日時：2023/05/12 11:07

No.26 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/12 09:44

お礼2023/05/12 08:31について

(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数の1つは

2(x^2-3n^2x)
というのは間違いです

2(x^2-3n^2x)は(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数ではありません
公約数の倍数は公約数になるとはいえないのです

あくまで
2(x^2-3n^2x)は(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数と主張するならば
それを証明してください

(参1)ax+by=c ,a,bの公約数dとb,cの公約数は等しいけれども
a,bの公約数d=c とはいえません
cはa,bの公約数とはいえないのです

この回答へのお礼

教授こんにちは。

最近お世話になりすぎですね

申し訳ございません。

同じミスをしておりました

改めました

https://imgur.com/a/WYnwUKN

何卒宜しくお願い致します

from minamino

お礼日時：2023/05/12 10:25

No.25 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 16:02

x^2-6x+2=n^2

(x^2-6x)-3x(n^2-2)=x^2-3xn^2
は
整数解
x=7
n=3
をもつけれども

x^2-6x=n^2-2=7

x^2-3xn^2=7^2-3*7*3^2=-140
は
x^2-6x=7　と　n^2-2=7　の最大公約数7の倍数だけれども
最大公約数でも公約数でもない
公倍数

この回答へのお礼

教授

おはようございます


昨日は途中で切り上げてしまい申し訳ございません。

連絡しようにも、補足もお礼も使えない状態でしたので

お許しください

教授が、今回ご提示下さった問題考えてみました

以下答案です

何卒宜しくお願い致します


https://imgur.com/a/4v7f0WA


from minamino

お礼日時：2023/05/12 08:31

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 15:40

補足：2023/05/11 13:57について

n^2(x^2-6x)-x^2(n^2-1)=-6xn^2+x^2
は最大公約数(x^2-6x=n^2-1)の倍数であるけれども
は最大公約数であるとはいえません
(参1)からはいえないのだから
証明してください
-----------------------------
別の問題)

x^2-6x+2 が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めよ

-----------------------------------------
x^2-6x+2=n^2
x^2-6x=n^2-2

(x^2-6x)-3x(n^2-2)=x^2-3xn^2　…①

x^2-3xn^2=x^2-6x
3xn^2=6x

n^2=2
となってnが整数であることに矛盾するからその方法は間違い
------------------------------------------------------------
x^2-6x+2=n^2
(x-3)^2-n^2=7
(x-3+n)(x-3-n)=7
x-3+n=7
x-3-n=1
2x-6=8
2x=14
∴
x=7

x^2-6x+2=49-42+2=9=3^2

この回答へのお礼

追伸

>だから
(x^2-6x)と(n^2-2)の公約数x^2-6x(=n^2-2)

の公約数を求めれば、必然的に

(x^2-6x)と(n^2-2)の最大公約数はx^2-6x(=n^2-2)で、間違いない

となる

お礼日時：2023/05/14 01:19

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/11 15:13

お礼2023/05/11 11:17について

ax+by=c
のとき
cは、gcd(a,b),(a,bの公約数)の倍数であるけれども
cは、gcd(a,b),(a,bの公約数)であるとはいえません
だから
f(x)-xg(x)=x(x-1)(x-2)(-3)=h(x)は
①と②の公約数の倍数であるけれども
①と②の公約数とはいえません

この回答へのお礼

追伸です

元々の問題は
最大公約数が、 x²-6x

ですが

教授が作成した問題の最大公約数は2(x²-6x)

これでは、いつまでも解決されないとおもいます

お礼日時：2023/05/14 06:53