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高校数学の問題について
2次方程式x²-2(m-2)x-m+14=0が、次のような異なる解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ


という問題で、回答に D>0で、α‬+β<0 かつα‬β>0 と書かれていたのですがどういう意味かよく分かりません 教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

  • 申し訳ありません大事な部分が抜けていました

    高校2年の複素数と方程式の分野です
    下の写真の94番のところです

    「高校数学の問題について 2次方程式x²-」の補足画像1
      補足日時:2023/05/05 21:44
  • 回答はこちら

    「高校数学の問題について 2次方程式x²-」の補足画像2
      補足日時:2023/05/05 21:45
  • α‬+β<0 かつ α‬β>0の意味が知りたいです

      補足日時:2023/05/05 22:25

A 回答 (7件)

類題がテストに出たとして、答案に説明無しに


「D>0 で α‬+β<0 かつα‬β>0」と書いたら、
解法の記述が無いから大幅減点をくらうだけだ。
それを公式だと思うのではなく、
答案には導出も含めて書かかないと。

二次方程式 x^2+(定数)x+(定数)=0 が共に正の
2個の実数解を持つ条件は、f(x) = 左辺 と置いて
[1] f(x)=0 が実数解 2個を持ち、
[2] f(0)>0 であり、
[3] f(x) の軸が x>0 にあること。

[1][2] で、2つの実数解が同符号であることが判り、
[3] でその符号が正であることが判る。
この部分は、 y = f(x) のグラフを見て納得しておこう。

二次方程式の解と係数の関係から
f(x) = x^2 - (α+β)x + αβ であり、
[2] ⇔ αβ > 0.
[3] ⇔ (α+β)/2 > 0 ⇔ α+β > 0.
となる。

共に負の 2個の実数解なら、
[1] f(x)=0 が実数解 2個を持ち、
[2] f(0)>0 であり、
[3’] f(x) の軸が x<0 にあること。
で、
[2] ⇔ αβ > 0.
[3’] ⇔ (α+β)/2 < 0 ⇔ α+β < 0.
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この回答へのお礼

詳しく説明していただきありがとうございます。次からは導出もしっかり書いていきます

お礼日時:2023/05/06 15:19

言ってるのは、(2)ともに負の解、の限定じゃ無いの。


掛けて正、足して負の2数が「ともに負」の条件。

(1)「ともに正」なら、掛けて正、足して正、が条件。

(3)「符合の異なる」なら、掛けて負、が条件。
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この回答へのお礼

助かりました

分かりやすく説明していただきありがとうございます。

お礼日時:2023/05/06 15:18

>α‬+β<0 かつ α‬β>0の意味が知りたいです



αβ>0 と云う事は α と β が、共に同符号だ と云う事です。
その上で α+β<0 と云う事は、共に 負の数だ と云う意味です。

共に 正の数ならば、α+β>0, αβ>0 となり、
異符号なら αβ<0 で α+β は 絶対値の大小で 正負が決まります。
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この回答へのお礼

助かりました

分かりやすく教えていただきありがとうございます。

お礼日時:2023/05/06 15:22

2次方程式x^2-2(m-2)x-m+14=0が、


異なる解α,βをもつとき、
x^2-2(m-2)x-m+14=(x-α)(x-β)=0
(x-m+2)^2=(m-2)^2+m-14=D/4>0→D>0
(2)α,βともに負の解のとき
α<0,β<0→α+β<0,αβ>0
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この回答へのお礼

助かりました

詳しく式を書いていただきありがとうございます。もう一度問題を解いてみます

お礼日時:2023/05/06 15:22

xの2次方程式が


x^2+ax+b=0 (a、bは実数)
の形をしているとき、2つの解を α、βとすると、上の式の
左辺=(xーα) (xーβ)
=x^2-(α+β)x +αβ
よって、2解α、βと係数a、bの間には
2解の和 α+β = -a、αβ=b
が成り立ちます。これが「解と係数の関係」です。

また、①の題意より、与えられた2次方程式の
「2つの解 α、βがいずれも正」と言うことなので、α+β>0、αβ>0が成り立ちます。
さらに、α、βが「異なる」と言っているので、判別式 D > 0 を満たす必要があります。
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この回答へのお礼

詳しく教えていただきありがとうございます。次からしっかり意味を理解してから解いていこうと思います。

お礼日時:2023/05/05 23:22

「回答」とやらは細かくて読めないが, D や α, β が何を表しているのかは理解できているね? そして, そのうえでどのような文章のどの部分が「どういう意味かよく分かりません」に該当する?



さらにいうと, あなたはどのような答えを期待している? 例えば D>0 は「D が 0 より大きい」という意味なのだが, それで OK?
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この回答へのお礼

助かりました

何度もお答えしていただきありがとうございます。

お礼日時:2023/05/06 15:20

「次のような異なる解をもつ」というのは「どのような」異なる解のこと? D ってなに? α や β は何を意味する?

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