x^4＋y^4 x^5＋y^5 この2つの式を因数分解して欲しいです

x^4＋y^4

x^5＋y^5

この2つの式を因数分解して欲しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/07 16:12

x^4＋y^4=x^4＋y^4

x^5＋y^5=(y+x)(y^4-xy^3+x^2y^2-x^3y+x^4)

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/07 19:54

係数を整数と限定するなら、上は不可。

(無理数なら可)

下は常に可。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/08 04:13

x^4+y^4

=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2
=(x^2+y^2+xy√2)(x^2+y^2-xy√2)

No.4 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/06/08 11:27

係数の範囲が指定してありませんね。

とりあえず、複素係数で分解してしまいましょう。
x^4 + y^4 = 0 を解いて
x^4 = -y^4 より x = y e^(iπ/4+(iπ/2)n), (n は任意の整数) なので、
x^4 + y^4 = (x - y e^(iπ/4))(x - y e^(i(3/4)π))(x - y e^(i(5/4)π))(x - y e^(i(7/4)π)).
係数を実数に制限するなら、共役複素数解を対にして二次因子にまとめればいい。
x^4 + y^4 = { (x - y e^(iπ/4))(x - y e^(i(7/4)π)) }{ (x - y e^(i(3/4)π))(x - y e^(i(5/4)π)) }.
= (x^2 - √2xy + y^2)(x^2 + √2xy + y^2).
有理係数だと、更にまとめて
x^4 + y^4 のままにするよりありません。

もうひとつも同様に、
x^5 + y^5 = 0 を解いて
x^5 = -y^5 より x = y e^(iπ/5+(i(2/5)π)n), (n は任意の整数) なので、
x^5 + y^5 =
= (x - y e^(iπ/5))(x - y e^(i(3/5)π))(x + y)(x - y e^(i(7/5)π))(x - y e^(i(9/5)π)).
係数を実数に制限するなら、共役複素数解を対にして二次因子にまとめればいい。
x^5 + y^5 =
= (x+y){ (x - y e^(iπ/5))(x - y e^(i(9/5)π)) }{ (x - y e^(i(3/5)π))(x - y e^(i(7/5)π)) }
= (x+y)(x^2 - ((1+√5)/2)xy + y^2)(x^2 - ((1-√5)/2)xy + y^2).
係数を有理数に制限するなら、共役無理数を係数に持つ因子を更にまとめればいい。
x^5 + y^5 = (x+y){ (x^2 - ((1+√5)/2)xy + y^2)(x^2 - ((1-√5)/2)xy + y^2) }
= (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4).