教科書が書き換わりますか

分数あるいは「分数→有限小数・循環小数・整数」という形以外に、すべての自然数とすべての有理数を1対1に対応させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか。

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての有限小数を、1対1に対応させ、次に

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

というように、0と1の間のすべての、有限小数と循環小数を、1対1に対応させ、で、すべての有理数(負の有理数は省略)を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

「0.111…」「0.222…」…
「1.111…」「1.222…」…
「2.111…」「2.222…」…
・
・
・

となるので、すべての自然数とすべての有理数(負の有理数は省略)を1対1に対応させると

1→0
2→0.1
3→0.111…
4→1
5→2
6→1.1
7→1.111…
8→0.2
9→0.222…
10→0.3
11→0.333…
・
・
・

となる。

質問者からの補足コメント

• 

  無限の個数の無限桁の自然数全体の部分としての、ある桁以上無限に0が並ぶという条件が付いたいわゆる有限桁の自然数の個数は無限でした。
  
  自然数より実数の方が多く見えるのは、自然数が有限の個数の数字の組み合わせであるのに対して、実数が無限の個数の数字の組み合わせであることが原因です。

    補足日時：2023/06/17 17:43

• 

  この質問締めるから、まだ理解できなければ次の質問に回答して。

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/18 15:14

No.9 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/17 19:32

正直にいうと, 「こういうふうに対応させるのかなぁ」というのはある. ただ, それだとどうしても「1対1」にはならんのよ. ある種の「循環小数」を表現する方法が思い付かないんだ.

もちろん, 正確にどのような「対応」方法なのかがわかれば「おぉ, ちゃんとできてるじゃん」ってなるかもしれんけど.... どう「対応」させるのか, とか「どうして 1対1 に対応するのか」とか, なぜか書こうと思わないみたいなのでそれは無理だろうなぁ. なんで書かないんだろう. ひょっとして言語化できないのかなぁ. 確かにそれなら「何がなんでも書かないようにしてやろう」という思いもわからんでもない.

でもふつうは書くものだろう.

この回答へのお礼

だーかーらー、書く必要がないから書かないだけ。

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての有限小数を、1対1に対応させ

ここまではわかるかな？「例えばあなたが思いついた有限小数がこの表の何番目に出てくるか、他の人はわかってますよ」と前回返信したよね。例えば0.3829017556は6557109283番目に出てきます。左右が対称的になってるのがわかるかな。

次！

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→0.212121…
0.21→0.313131…
・
・
・

とずらせばいいだけなのですが、それではわかりにくいから

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

と書いただけですと前回返信したけどわからないかな。まさか有限小数の方が多いとか言わないですよね。1対1対応になってるのがわからない？例えばさあ、

1→1
2→2
3→3
4→4
・
・
・

と自然数同士を対応させて、右側の奇数を取り除いて、右側を正の偶数にしたら、自然数と正の偶数↓は1対1対応にならないとか思ってるのかな。

1→2
2→4
3→6
4→8
・
・
・


0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

の(0.111…)を取り除いて

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→0.212121…
0.21→0.313131…
・
・
・

にしても、有限小数と循環小数が1対1対応のままだということがわからない？

字数が足りないから端折るけど、あとは有理数のすべてである整数と有限小数と循環小数を整列させて、それと自然数を対応させるだけなんだけど、わからなければ、また「ひょっとして言語化できないのかなぁ」とか的外れな返信を頂ければ説明します。

お礼日時：2023/06/18 14:55

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/18 10:03

よだん.

そもそも「自然数と有理数を 1対1 に対応させる」だけでよければ, こんな意味不明なことをぐっちゃぐっちゃいじらなくても
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97 …
で瞬殺だったりする.

この回答へのお礼

リンク先の、一般人には全く意味不明な内容は瞬時に理解できるのですか。でも私の質問文の内容はわからない…「聞こえませーん」「わかりませーん」って子供のいじめみたいなことをやられたらお手上げです。

＞循環小数」をしれっと「有理数」に置き換えるミラクルをこの質問文ではやらかしている

「循環小数は有理数」についてはOKですか？しれっととぼけるミラクルをやらかしてますが。

お礼日時：2023/06/18 15:07

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/17 18:26

←補足(06/17 17:43)

自然数が無限個あることは、中学の教科書にすら載っている。
あらためて変なことを始めるまでもない。
自然数が有限個だとすると、最大の自然数がある。
⇒ 最大の自然数+1 も自然数であって矛盾。

＞無限桁の自然数全体の部分としての
世間で「自然数」と呼んでるも全体
＝ 有限桁の自然数全体
⊂ 無限桁の自然数全体　←[＊]
＝ 君が自然数を拡張して新たに定義した「自然数」

[＊] が真部分集合で、等濃度でもないから、
君の「自然数」と実数のどちらが多いかを考えても
それは世間で自然数と呼んでるものと実数のどちらが多いか
とは何の関係もない。
これをいつまで続けるつもりなのか？

参考↓
https://nc.math.tsukuba.ac.jp/cabinets/cabinet_f …

この回答へのお礼

わからなければいいです。

お礼日時：2023/06/17 18:30

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/17 00:39

「全部書け」ねぇ... やってくれないかなぁ (期待).

一応コメントしておくと, 「従来の有理数の整列」で「説明しない」のはやっぱりまずいと思うよ. そこはきちんと書いておくのが筋ってもんだ.

なお正確には「多対多」だと思う＞#6 し, その上さらに「循環小数」をしれっと「有理数」に置き換えるミラクルをこの質問文ではやらかしている.

この回答へのお礼

＞「全部書け」ねぇ... やってくれないかなぁ (期待).

無限に書けと本気で言っておられるのでしょうか。冗談ですよね。面白くはないですが。

＞「従来の有理数の整列」で「説明しない」のはやっぱりまずいと思うよ. そこはきちんと書いておくのが筋ってもんだ.

ちょっと意味が分かりかねます。「従来の有理数の整列」については、見ればわかるので、誰も一々、「第一列は分母が1で分子が1,2,3,4…となって、第二列は…」とか説明しないですよねって言ったんですけど。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・


1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての有限小数を、1対1に対応させって、これ以上どう説明しろと？例えばあなたが思いついた有限小数がこの表の何番目に出てくるか、他の人はわかってますよ。

＞なお正確には「多対多」だと思う＞#6 し

ちょっと意味が分かりかねます。

＞循環小数」をしれっと「有理数」に置き換えるミラクルをこの質問文ではやらかしている

循環小数は有理数ですが？

＞0.11→(0.111…)ってどういう意味だ? 0.11 を何に対応させているんだい? まさか「0.111... と (0.111...) とは違う数だ」などと戯言をほざくわけではないんだろ?

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→0.212121…
0.21→0.313131…
・
・
・

とずらせばいいだけなのですが、それではわかりにくいから

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

と書いただけです。投稿する前に一呼吸置いた方がいいと思います。

お礼日時：2023/06/17 18:00

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/16 22:22

0.1 →0.111…

0.11 →0.111…
0.111 →0.111…
0.1111→0.111…

というように
有限小数と循環小数との対応は
1対1ではなく
多対1になります

この回答へのお礼

その前に、無限の個数の無限桁の自然数全体の部分としての、ある桁以上無限に0が並ぶという条件が付いたいわゆる有限桁の自然数の個数は無限でした。自然数より実数の方が多く見えるのは、自然数が有限の個数の数字の組み合わせであるのに対して、実数が無限の個数の数字の組み合わせであることが原因です。

＞有限小数と循環小数との対応は1対1ではなく多対1になります

それだと循環小数の個数より有限小数の個数の方が多いということになりますね。本気で言っていたらかなりまずいです。

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→0.212121…
0.21→0.313131…
・
・
・

とずらせばいいだけなのですが、それではわかりにくいから

0.1→0.111…
0.2→0.222…
・
・
・
0.9→0.999…
0.01→0.010101…
0.11→(0.111…)
0.21→0.212121…
・
・
・

と書いただけです。

お礼日時：2023/06/17 17:41

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/16 20:36

そう, ごく少数については具体的に書いてあるね. で, それら「具体的に書いてあるもの」以外はどのようにするんだ? そのルールはどこにも書いてないぞ. 「～のように」では全くもって不十分だ. きちんと「あらゆる場合に適用できるルール」を明示してくれ.

ついでに指摘しておくと「0と1の間のすべての、有限小数と循環小数を、1対1に対応させ」のところもよく見ると (よく見なくても) 全然「1対1に対応させ」ていないことがわかる. 例えば
0.11→(0.111…)
ってどういう意味だ? 0.11 を何に対応させているんだい? まさか「0.111... と (0.111...) とは違う数だ」などと戯言をほざくわけではないんだろ?

この回答へのお礼

＞ごく少数については具体的に書いてあるね. で, それら「具体的に書いてあるもの」以外はどのようにするんだ?

全部書けということ？

＞そのルールはどこにも書いてないぞ

見てわからなければ結構です。大体の人はわかるので。従来の有理数の整列↓を、一々、「第一列は分母が1で分子が1,2,3,4…となって、第二列は…」とか説明しないですよね。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

＞0.11→(0.111…)ってどういう意味だ?

0.111…は重複していますが、わかりやすくそのまま表記してあるだけです。

お礼日時：2023/06/16 21:12

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/16 01:25

おまけ.

「どのように『対応』させるのか」が全く明確ではないところから問題だ, と指摘しておこう. 実は明確にできない理由があるのではないかとすら思えるが.

この回答へのお礼

明確ですが？

どこが明確ではないのでしょうか。

すべての自然数とすべての有理数(負の有理数は省略)を1対1に対応させると

1→0
2→0.1
3→0.111…
4→1
5→2
6→1.1
7→1.111…
8→0.2
9→0.222…
10→0.3
11→0.333…
・
・
・

となる。

と思いっきり明確に具体的に書いてあります。通常レベルの類推する力があればこれで十分だと思います。別のサイトで、9→0.222…までしか書かなかったら、「1/3がこの表にはない」という回答者がいたので、ここでは11→0.333…まで書くことにしました。

お礼日時：2023/06/16 14:28

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/16 00:25

現行の教科書に、既に

すべての自然数とすべての有理数は1対1に対応させることができる
と書いてあります。
いろいろ考える前に一度、教科書を読んでみるとよかったね。

この回答へのお礼

従来のやり方は知っています。別のやり方について述べています。

お礼日時：2023/06/16 14:20

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/15 21:27

以前の質問で 解決したのでは？

6月1日 18:12 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13485667.html
5月26日 17:14 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13478455.html
どちらも ベストアンサー 付けてますよね。

この回答へのお礼

ベストアンサーは礼儀として付けてあります。

お礼日時：2023/06/16 14:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/15 20:45

自然数 (全体の集合) と有理数 (全体の集合) とは対等なのだが, いったいなにを主張しているつもりなんだろう.

この回答へのお礼

従来と違うやり方を考えたという話です。

お礼日時：2023/06/16 14:19