arcsinを含んだ極限の解き方がわかりません

微分積分学の課題でarcsinを含んだ以下の問題が出たのですがどのように解けばいいのでしょうか

lim x→0 arcsin2x/arcsin(-7x)

回答よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/23 15:10

lim(x→0)arcsinx/xでt=arcsinxとするとx=sintとなります。

またx→0よりt→0+kπ(kは整数)となります。ここで
xの定義域はarcsinxから-π/2<x<-π/2よりk=0よってt→0となります。
よってlim(t→0)t/sint=lim(t→0)1/(sint/t)でlim(t→0)sint/t=1より

lim(x→0)arcsinx/x=1　
..............(1)
から

ｘ→0なら　2ｘ→0　また　7ｘ→0　より 与式＝
lim(x→0){arcsin2x/2x}/{（-1）arcsin(7x)/(7x)}・(2x)/(7x)
ここで　（1）より
= - 2/7
訂正します！
確かにｘの定義域には注意が必要ですが高校から順に考えていけば
（1）が出てきますから後はＮｏ1が言われるように変形すればいいだけ！

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/23 21:23

ロピタルの定理でいいんじゃね？

lim[x→0] arcsin(2x)/arcsin(-7x)
= lim[x→0] { arcsin(2x) }’/{ arcsin(-7x) }’
= lim[x→0] { 2/√(1 - (2x)²) }/{ -7/√(1 - (7x)²) }
= lim[x→0] (-2/7) √{ (1 - (7x)²)/(1 - (2x)²) }
= (-2/7)・1
= -2/7.

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/23 15:02

im(x→0)arcsinx/xでt=arcsinxとするとx=sintとなります。

またx→0よりt→0+kπ(kは整数)となります。ここで
xの定義域はarcsinxから-π/2<x<-π/2よりk=0よってt→0となります。
よってlim(t→0)t/sint=lim(t→0)1/(sint/t)でlim(t→0)sint/t=1より

lim(x→0)arcsinx/x=1　
..............(1)
から

ｘ→0なら　2ｘ→0　また　7ｘ→0　より 与式＝
lim(x→0){arcsin2x/2x}/{（-1）(7x)/arcsin(7x)}・(2x)/(7x)
ここで　（1）より
= - 2/7

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/23 00:22

arcsin (2x) / arcsin(-7x) = [arcsin(2x)/x]/[arcsin(-7x)/x].