z^3＝複素数 の１つの解をxとし、 arg x＝θとすると、 （←これはxの位置と原点で構成する角

z^3＝複素数　の１つの解をxとし、
arg x＝θとすると、
（←これはxの位置と原点で構成する角ということでいいですか？）
その際のcos2θやsin2θとは？
（cosθ、sinθの角を２倍するということですよね？）
x以外の解とは何でしょうか？
（複素数平面において、同じ絶対値において2/3π回転すれば他の２つは出るということですかね？）


ご教授お願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/01 13:44

z^3 = C (Cは定数) の解が複素数の範囲に 3個あることは判るでしょう？

その中のひとつを x と命名し、残りの 2個は「x以外の解」だということです。

z^3 = C,
x^3 = C の辺々を割り算すると
(z/x)^3 = 1 になるので、
t^3 = 1 を解いて (t - 1)(t^2 + t + 1) = 0 より t = 1, (-1±i√3)/2.
ｚ^3 = C の全解は z = xt の 3個だということです。
(x は 1個、t は 3個あるから、xt は 3個ある。そのうち 1個は x。)

＞ arg x = θ とすると

arg の定義は、これでも参照↓
https://mathwords.net/henkaku
arg は、一意性にやや問題を残すので、
多価関数の扱いに慣れていなければ
arg の主値とかの定義の怪しい関数を使うよりも
「x の偏角を θ とする。」と言葉で書いたほうが健全
だとは思いますけどね。

＞ その際のcos2θやsin2θとは？
＞ （cosθ、sinθの角を２倍するということですよね？）

「その際」がどの際なんだかは、質問者から説明が欲しいとこです。
cos 2θ や sin 2θ が cos(2θ) や sin(2θ) の意味なのは
中学以来変わらないことですが。

＞ （複素数平面において、同じ絶対値において
＞ 2/3π回転すれば他の２つは出るということですかね？）

その質問文が何言ってるのか判りにくい日本語なので、
明言はしにくいのですが、おそらくそんな感じの話だと思います。
上記の t のひとつ t = (-1+i√3)/2 が極形式で t = e^((2/3)πi),
もうひとつの t = (-1-i√3)/2 が t = ( e^((2/3)πi) )^2 なんです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。m(_ _)m

お礼日時：2023/07/10 22:13

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/30 11:16

z^3=|z^3|e^(i{arg(z^3)+2nπ})

arg(z)=θ
z=|z|e^(iθ)
z^3=(|z|^3)e^(i3θ)=|z^3|e^(i{arg(z^3)+2nπ})
|z|^3=|z^3|
3θ=arg(z^3)+2nπ
θ={arg(z^3)/3}+(2nπ/3)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/30 10:36

まずは、教科書の「複素数の極形式」というところを読んで理解してください。

問題を解くのは、そのあとで。

たとえば
↓
https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/pola …
https://hiraocafe.com/note/complex-polar-form.html