複素数の問題の解を求めたいのですが、その方法は・・？ z^3=3+4iの絶対値は「５」であっています

複素数の問題の解を求めたいのですが、その方法は・・？


z^3=3+4iの絶対値は「５」であっていますか？

この式の解の一つをｘとしたとき、

arg x = θ としたときの cos3θやsin6θを求める
方法をご教授お願い致します。

また、x以外の解をθを使って求める方法を併せてお願い致します。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/11 10:18

z^3=3+4iの絶対値は

|z^3|=|3+4i|=5
だけれども
z^3=3+4iとなる
zの絶対値は
|z|=5^(1/3)

arg(z)=θとすると

z
=|z|e^(iθ)
=5^(1/3)e^(iθ)
=5^(1/3)(cosθ+isinθ)

z^3
=|z|^3e^(i3θ)
=5e^(i3θ)
=5{cos(3θ)+isin(3θ)}
=3+4i
=5(3/5+4i/5)

cos(3θ)=3/5
sin(3θ)=4/5

z^3=5e^(i3θ+2nπ)

z=5^(1/3)e^(iθ+2nπ/3)

z=(5^{1/3})e^(iθ)
z=(5^{1/3})e^{i(θ+2π/3)}
z=(5^{1/3})e^{i(θ-2π/3)}

解は
z=5^(1/3)(cosθ+isinθ)
z=5^(1/3){cos(θ+2π/3)+isin(θ+2π/3)}
z=5^(1/3){cos(θ-2π/3)+isin(θ-2π/3)}
の3個

cos(3θ)=4(cosθ)^3-3cosθ=3/5
だから
cosθは
3次方程式
(cosθ)^3-(3/4)cosθ-3/20=0
の解

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/11 08:32

＞ z^3=3+4iの絶対値は「５」であっていますか？

|z|^3 = |z^3| = |3+4i| = √(3^2+4^2) = 5 なので、
|z| = 5^(1/3) です。

＞ この式の解の一つをｘとしたとき、
＞ arg x = θ としたときの
＞ cos3θやsin6θを求める方法

z = (5^(1/3))(cosθ + i sinθ) を
z^3 = 3+4i へ大有すると、
cos(3θ) + i sin(3θ) = (3/5) + i (4/5) になります。
cos(3θ) = 3/5 です。

cos(6θ) は、倍角公式で求められますね。

＞ x 以外の解を θ を使って求める方法

x 以外の解は、x と同じ絶対値を持ち、
偏角は θ±(1/3)π です。
なぜそうなるかは、z^3 を計算してみれば解ります。