e=mc^2について

相対性理論のローレンツ変換までは理解したのですがそれ以降理解力がなくて
e=mc^2まで辿り着けませんでした
時間の遅れとどんな関係があるのか簡単に教えて下さい

No.7 回答者： 月9 回答日時： 2023/10/06 18:58

質問者殿　初質問のようですので、この問を聞かれたくて、加入されたんだと思います

入門書か大学１年次物理の教科書で、ローレンツ変換あたりを学ばれた次のステップだといたしましょう

歴史的にも初等的にも、E=Mｃ^2は、光の運動量の存在と、光と物質の衝突による運動量・エネルギー保存の問題を中心課題として考案されます

歴史も、アインシュタインの初期の主張も、流れとしましては

①光に運動量があることを認める

②光と物質の衝突時に、静止系と、速度V系で、運動量保存問題を考える思考実験を考えると　E＝Mｃ^2に当たる

③相対論をニュートン力学に対応する運動学として確立していき、その中に整合するようにE=Mc^2をとりこむ

という感じです


【1】光に運動量ｐ＝ε/cがあることを認める
すでに納得されていれば、【１】は、読み飛ばしてください

光子の運動量ｐは、エネルギーε＝ｈνとしたとき　p=ε/cで表されます
この主張は、以下の３ステップで納得させられます

①　電磁気学的に演繹されていること
古典電磁気学によれば
光のポインティングベクトル　S=E×H
電磁場の運動量密度　ｇ＝D×B
には　S＝c^2ｇの関係がある（ｃが二乗なのは、定義範囲の取り方が原因で、定義範囲を合わせれば１乗と同義）
よって光子の運動量とエネルギーの関係は　ｐ＝ε/c

②　実験事実
・光子と素粒子の衝突、コンプトン散乱にはΔλ＝h/mc（1-cosθ）の関係があり、これはエネルギー保存・運動量保存より導かれ矛盾がない
・粒子の波動性についても、ド・ブロイ波　λ＝h/pの関係があり矛盾がない

③　E＝Mｃ^2と、ｐ＝ε/cの整合性
ニュートン力学運動量　ｐ＝Mｖと見比べて
光の運動量を ｐ＝Mｃと考えてみると
　Mｃ＝E/c^2×ｃ＝E/c
と、仮想的に考えて整合している


【２】思考実験を考え、E=Mc^2を認める
アインシュタインの有名な思考実験で　E=Mc^2が主張されますが
E=Mc^2を説明した思考実験は、かなりあります

第一論文直後にでた1.5論文や、1946年の思考実験が有名です
以下で、平易だと思われる1946年の概略を挙げておきます

K０系で、静止している物体B（質量M）
これにX軸のプラス方向とマイナス方向から　エネルギーε/2の光子２つが非弾性衝突して物体Bに吸収される。このときBは静止したままになる

この衝突をZ軸方向に速度ーVで動くK１系で観察すると
光子は斜めに物体Bに衝突する（光行差）

そのZ軸方向への光子の斜めの運動量成分は
光行差sinθ＝V/cと近似して
(ε/2ｃ)（V/ｃ）
よって、２つの光子によって与えられるK1系のZ方向運動量は
εV/c^2

よってＫ１系における物質ＢのＺ方向への運動量は
衝突前　ＭＶ＋εＶ/c^2
衝突後は質量がＭ’に変化したと考え　Ｍ’Ｖ
∴　ΔＭ＝Ｍ’－Ｍ＝ε/c^2
よって
　　ε＝ΔMc^2


【３】相対論を運動学にして、ε＝Mｃ^2もとりこむ

速度だけのローレンツ変換では、次の段階の運動量、エネルギー保存などに進めない
そこで、質量保存を放棄して、質量が速度の関数として理論を構築していく

あとは勉強していただいて
　M（V）＝M（０）γ
　P（V)＝M（V)V
として、４元運動量　ｐ＝（M（０）γｃ，M(０）γV）
が定義され
　E＝M（V)ｃ＾２
　ｐ＝E/c
が導出できるように理論構築されていきます

No.6 回答者： gyakutennzizou 回答日時： 2023/09/30 22:25

ローレンツ変換に組み込まている、ガンマに数式

これが、曲者で有る。
ガンマの数式は、アインシュタイン博士は空想の光り実験から考案された理論だよね。
ガンマの数式は、極、限られた条件で無ければ、通用しないのだよ。
それと、時間を語るなら、「複数の時間の正体」を知る必要が有る。

これらが、理出来ると、移動する物体の時間が遅れる？等は、有り得ない事が物理学で理解出来るよ。
＿
それと、Ｅ＝ｍｃ×２は、全く無関係なのだよ。


Ｂｙ　逆転地蔵　♪♪(=^・^=)♪♪
・

No.5 回答者： tsumina 回答日時： 2023/09/29 16:49

まず、特殊相対性理論の本質ですから、

ローレンツ変換はわかったけど、時間の遅れは？　質量とエネルギーの等価性は？などと、素人の思いつきで質問しても答えなどありませんよ。理解したいなら理論の順を追って式や理論展開を理解しするしかありません。その過程で、分からない点を各論で質問するようにしましょう。

なんちゃんて理解なら簡単です。

・　ガリレイ変化では、マクスウェルの公式が変わってしまうことに世界は悩んでいた。

・　ローレンツや多数の人が、ガリレイ変換を、ある別の変換にすると、辻褄が合うと考えた。

・　しかしだれも、その変換の意味がわからなった。

・　アインシュタインは、いくつかの思考実験から、特殊相対性原理（物理法則に関してすべての慣性系は対等）と、光速度不変の原理（光の速さは光源の運動状態に無関係）という仮定だけから、マクスウェルの方程式をまったく使わずに、その変換を導き出した。

・　その変換を最初につじつま合わせの式を考えたローレンツの名前をとって、ローレンツ変換と言う。

・　その座標変換から、時間の同時性が失われ、速度によって長さが変化し、時間が遅れたり進んだりすることが、体系的に説明された。

・　それをもとに運動エネルギーを計算すると、そもそも速度がゼロの状況でも、質量に応じたエネルギーを持っていると考えられ、質量もまた、エネルギーの一形態であるとわかった。

ということ。これを厳密に知りたいなら勉強するしかないってことです。

No.4 回答者： chiha2525 回答日時： 2023/09/28 21:03

光速度 c が固定なので、加速しても加速しない（ c 以上にならない）仕組みが必要なのです。

で m=e/c^2 に相当する質量が増えるから加速しないっていうわけです。
ところで加速しないってのは地球からロケットを見ている人にとってであって、ロケットに乗っている人はずっと同じように加速し続けます。それで、加速しつづけている人と、（外から見て）加速しない人とで対象物（ロケット）の時間の経過が違ってくるからってことになるのです。

No.3 回答者： satoumasaru 回答日時： 2023/09/27 16:47

No2です。

追記します。

e=mc^2は一般相対論ではなく特殊相対論の問題です。

No.2 回答者： satoumasaru 回答日時： 2023/09/26 20:02

下記の動画がわかりやすいですよ。

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/09/26 20:00

E=mc^2は一般相対論ですから、ローレンツ変換などの特殊相対論とは別の体系になります。

提唱者のアインシュタインですら10年がかりの物でしたから、素人は一から勉強し直す覚悟が必要です。