質量の違いによる落下速度の違いについて

真空状態では、ティッシュと鉄球をそれぞれ同じ高さから落としても落下速度は変わらないと習いました。
また空気抵抗は、速度に比例するものと、速度の二乗に比例するものの２つがあるそうですが、この速度というのは落下運動の式(v=at(初速度0))で出す速度のことですか？
もしそうだとしたら、質量は空気抵抗に無関係ということでしょうか？

地球上で同じ大きさのピンポン球と鉄球を落下させたら、鉄球の方が速く落ちますよね？空気抵抗は質量にも関係あるんじゃないですか？

分かる方教えてください。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  f=ma
  のaの部分は地球上の落下物で言うと重力過速度gになりますよね？
  重力過速度は全ての物に対して地球上では変わらないですが、質量によって受ける力fが変わるのは分かります。でもfが大きいから加速度が大きくなると考えられる理由がわかりません。だって重力過速度は全てに対してgだし。。。
  理解力なくてすみません。。。
  
  あと、
  v=v0+at (v0:初速度)
  この式は最初の方に習いましたが、この式には質量の値が入っていません。どうしてですか？質量によって加速がつき、速度が変わるならこの式にも質量mが入るはずじゃないですか？
  この式でいうと、鉄球もピンポン球も落とした式は同じになるので、計算結果の速度も同じになりますよね？

    補足日時：2023/11/27 14:55

• 質量が入った速度の計算式などないのに、なぜ質量が重い方が加速度がつくといえるのですか？
  回答を見ると、重さが違くても大きさが同じだと空気抵抗も一緒ということですし、なにが速度に関係してるのか分からなくなってきました。
  
  頭が固くてすみません。
  こんな馬鹿にも分かるようにお願いします。

    補足日時：2023/11/27 14:56

No.12 回答者： syotao 回答日時： 2023/11/28 22:17

同じ大きさのピンポン球と鉄球でいえば短い距離での自由落下では

空気の抵抗は落下速度に比例するとしてよい。
この場合比例定数ｋは球の質量によらず一定である。
つまり、今の2球に関しては同じ抵抗比例定数が使える。
運動方程式は
ｍdv/dt＝ｍｇ－kvになるけどこれをｔ＝0でｖ＝0の条件で解くと
空気抵抗は　kv＝mg(1－ｅ^(－kt/m))
これを見ると抵抗は球の質量ｍの増加につれて増えていく。
つまりピンポン球より鉄球のほうが空気抵抗は大きい。
しかし
球に作用する重力と空気抵抗の差を見ると
mg－kv＝mgｅ^(－kt/m)となり
mが大きくなるほどｅ^(－kt/m)は1に近くなるから
mg－kvはmが大きくなるほどｍｇに近くなる。つまり
mが大きくなるほど抵抗力よりも重力mgが勝ってきて
あたかも真空の状態での落下運動に近くなる。
逆にｍが小さくればなるほどｅ^(－kt/m)は0に近くなるから
mg－kvは0つまり重力と抵抗力はつりあいの状態に近くなって
球はゆっくりと落下するようになる。
以上が重い球が軽いピンポン球より早く落ちるメカニズムです。
重力や抵抗力そのものよりより、それらの正味の差が
運動を決めるわけだから、そこを見なくちゃいけない。

No.11 回答者： tsumina 回答日時： 2023/11/28 12:29

疑問１

＞f=ma　のaの部分は地球上の落下物で言うと重力過速度gになりますよね？

このあたりから、順を追って理解する必要ありますね。

①まず運動方程式

f=ma は重力とは無関係です。力を加えるとモノは加速する。その比例定数は質量だよ！ってこと。重力は１ミリも出てきません。

②次に重力

重力とは、古典力学的に言えば万有引力のことです。地球の大きな質量と、対象とするモノが、お互いに引き合う万物に働く力がありますよ！！ってことですね。これ自体に運動方程式は関係ありません。

さて、地表面にて、万有引力を重力＝力として、①の運動方程式を立ててみましょう。（G万有引力定数、M地球の質量、mモノの質量、R地球の半径、モノの加速度、f モノにかかる力）

f = ma
G＊Mｍ/R^2　＝ma

a=G*M/R^2

となりますね。最終式の右辺はすべて一定なので、求めるaは一定となり、それをg（重力加速度）と呼ぶのです。つまり、

●　質量ｍの物体にはｍｇの重力がかかる

と、言い換えられます。

（参考）
実際には、下記の前提が隠れていますが。
・　地球の半径に対して、地表面からの距離は小さいので無視。
・　遠心力も無視。
・　全質量が地球の中心にあるとみなして計算。


③　空気抵抗がある場合の運動方程式　（no8 の繰り返し）

①と②を合わせれば、

質量をｍ
落下速度をｖ
落下加速度をa
速度に比例する空気抵抗の比例係数をk
つまり空気抵抗はkv

として、運動方程式を立てると、

ｆ＝　ma

ｍｇ　ー　ｋｖ　＝m a

となり、aやｖに関する方程式が得られます。

a ＝　（d/dt）v

ですから、解けば、ｖの振る舞いがわかるってことになります。これが、あなたの求める、ｖを表す式になります。

疑問２
＞v=v0+at (v0:初速度)
この式は最初の方に習いましたが、この式には質量の値が入っていません。どうしてですか？質量によって加速がつき、速度が変わるならこの式にも質量mが入るはずじゃないですか？

この式は、加速度が一定の場合に、時間とともに速度がどう変わるか？　を示した式ですね。

f = ma
a = f/m

ですから、a が一定という中に、すでに、質量や加わる力が取り込まれているってことです。

＞疑問３
この式でいうと、鉄球もピンポン球も落とした式は同じになるので、計算結果の速度も同じになりますよね？

なりませんよ。この式は、繰り返しますが加速度が一定の場合の式。加速度が一定かどうかわからないときは、使えませんね。

＞疑問４
質量が入った速度の計算式などないのに、なぜ質量が重い方が加速度がつくといえるのですか？

③の微分方程式の答えが、あなたの求める、質量が入った速度の計算式になります。もとめるものは、方程式を解いた結果です。あらかじめ考えてわかるものではありません。

＞回答を見ると、重さが違くても大きさが同じだと空気抵抗も一緒ということですし、なにが速度に関係してるのか分からなくなってきました。

順を追って式を見て、結果の式を解釈する。それしかありません。予め、複雑な事象を、頭の中だけで整理し、理解することは不可能です。そのための運動方程式であり、それを解くための微分や積分の数学テクニックです。

がんばってください。

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2023/11/28 10:15

「質量は空気抵抗に関係している」と言う考えが誤りである事が分かる例を。

比較的軽くて薄い木の板を板の面が地面と平行になるような形で落とした場合、板にはかなりの空気抵抗がかかるので落下速度は遅くなるはずです。そして次に板の面が地面と垂直になるように落としてみると、今度は空気抵抗があまりかからずに速い速度で落下するはずです。

これだけを見ても「空気抵抗は質量に関係している」が間違いである事は分かるはずだと思います。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/27 22:21

>fが大きいから加速度が大きくなると考えられる理由がわかりません

理由など誰も知りません。ニュ一トンだって分からないのです。
我々が知っているのは実験するとそうなるので
そう計算するしかないということだけ。
自然はあるがままに受け入れるしかないのです。
頭の中でどう理屈をこねても、現実と合わなければ
何の価値もないというのが自然科学の基本ルールです。

No.8 回答者： tsumina 回答日時： 2023/11/27 18:32

まず、

真空状態では、ティッシュと鉄球をそれぞれ同じ高さから落としても落下速度は変わらないと習いました。

これがなぜそうなるか？を理解していますか？
ティッシュ（軽い）ものと、鉄球（重いもの）を落とすと、同時に落ちるのは、

ティッシュ：質量がかるくて動きやすいが、かかる重力も小さい。
鉄球　　　：質量が重く動きにくいが、かかる重力も大きい。

ってことです。この動きにくさと、重力の大きさが、いい塩梅で比例するため、どんな物質も、空気抵抗がなければ同時に落ちるのです。不思議ですね。

今度は、空気抵抗がある場合。
これは、式を使わないとなかなか理解しにくい。

質量をｍ
落下速度をｖ
落下加速度をa
速度に比例する空気抵抗は比例係数をk
つまり空気抵抗はkvとなるとしましょう。

運動方程式（ma = F )を立てると、

ｍa = 重力　ー　空気抵抗
＝ｍｇ　ー　ｋｖ

となります。この微分方程式をとけば、

・　最終的に落下物は一定の速度になる。
・　その速度は、質量に比例し空気抵抗に反比例する。
・　同様に位置も計算できる。

ことがわかります。さて、このとき、

①　同体積のピンポン玉と鉄球なら

どちらも、空気抵抗が同じなので、質量に比例して速度が決まる。つまり重い鉄球の方が早く落ちる。

②　大きいティッシュと、鉄球なら

ティッシュの空気抵抗が大きく遅くなり、鉄球は重いので速い。つまり、鉄球のほうが、①よりさらに早く落ちる。

③　小さいティッシュと、大きい羽のような形の鉄なら。
　
鉄の空気抵抗が大きい羽の効果で遅くなるが、そもそも重い鉄は速く落ちる。その効果が相殺して、ティッシュといい勝負になるかもね・・・

こんなイメージです。

No.7 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/11/27 14:30

>>真空状態では、ティッシュと鉄球をそれぞれ同じ高さから落としても落下速度は変わらないと習いました。

質問の答は既に色々な方が書いてるので割愛。

厳密に言うと、落下速度は変わらないと言うのは誤りです。
鉄球の場合の方が早く地面に到達します。
但し、余りにも差が小さいのでどんな観測装置を使っても検出出来ません。

地球が鉄球を引き寄せる力と同じ力で、鉄球は地球を引き寄せています。
ピンポン玉より鉄球の方が質量が大きいので、鉄球の方がピンポン玉より近くまで地球を引き寄せてます。

この結果、鉄球が地球と衝突するまでの時間が短くなります。

No.6 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/11/27 09:51

(´・ω・`) 重さは同じ、球体の鉄の玉と、非常に薄く板状にして紙飛行機のように折った鉄の板。

大きさは異なるけど重さは同じだよね。
……同じ速度で落ちると思う？

空気の抵抗ってそういうもんだ。

・・・余談・・・

まあ、ぶっちゃけ「同じように見える」ってだけなんだけどね。
”万有引力” って聞いたことあるだろ。
これ、２つの物質が引き合う力の事です。
この力は「双方の質量の積に比例して距離に反比例する」らしい。
　F=G(Mm/r²)　
そんなわけで、1kgの鉄と1.5gのティッシュペーパーでは、
「地球と引き合う力は異なる」
のだから落ちるまでの時間は真空中でも異なる。
ただし地球の質量が1kgと1.5gに対して極端に大きいため、2つの物質の距離（地表からの高さ）が短いので「同じように見える」ってだけの事なんだ。
だから正確には「同じ」ではなく「異なる」が正解なんだぜ。

これ、円周率を「3」とか「3.14」として教えるのと同じ考え方です。
実際の差は無視できるほど小さい誤差としてるんだ。

だから、本来は
「1gの鉄と1gのティッシュペーパーは真空中では同じ速度で落ちる」
のように ”重さ” を同じに定義しないといけないんだ。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/27 09:18

運動方程式

　F = ma
というのをご存じですよね。

これの意味するところは
・力が働けば加速度が生じる（運動が変化する）
ということですが、その「加速度」（運動の変化のしかた）は「質量」に反比例するということでもあります。
同じ力が働いても
・質量が大きければ加速度は小さい
・質量が小さければ加速度は大きい
ということです。
同じ「空気からの抵抗力」が働いても、
・質量が大きいものは加速度（空気抵抗の場合は「減速の度合い」）は小さい
・質量が小さいものは加速度（空気抵抗の場合は「減速の度合い」）は大きい
ということになります。

「重力」の方は質量に比例する力なので
・質量が大きいものは重力が大きいが、その分加速しにくい
・質量が小さいものは重力が小さいが、その分加速しやすい
ということで、結果的に
・重力による落下の加速度は質量によらず一定
ということになります。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/27 08:29

>地球上で同じ大きさのピンポン球と鉄球を落下させたら、

>鉄球の方が速く落ちますよね？
>空気抵抗は質量にも関係あるんじゃないですか？

空気抵抗が同じなら、重い方が空気抵抗の影響を受けにくい。
質量とは力の影響の受けにくさを表す尺度のこと。

No.3 回答者： yoshimasa2000 回答日時： 2023/11/27 07:24

＞質量は空気抵抗に無関係ということでしょうか？

はい、無関係という理解でオッケーです。

＞空気抵抗は質量にも関係あるんじゃないですか？

空気抵抗と質量は関係ありません。

同じサイズのピンポン玉と鉄球では同じだけの空気抵抗が発生しています。

にも関わらず鉄球が速く落ちるのは、重い分、より強く重力の影響を受けていて、強い力で地面方向に引っ張られているからです。

質量によって空気抵抗が変わっているわけではありません。