空間図形の基礎

よろしくお願いします。

空間内の平面αと直線hの位置関係について、

hがα上の交わる二直線と垂直である⇒hはαに垂直である(直交する)

という命題の逆って成り立ちましたっけ？

ど忘れしてしまいました。

質問者からの補足コメント

• たとえば、正四面体ABCDがあり、AとBから辺CDに中線AM、BMを引くと、これは垂線にもなりますから、命題通りに考えれば平面ABM⊥CD…①　が成り立ちますが、ここからCDとねじれの位置にあるABとの垂直関係を証明するのに、
  
  ①であるから、AMまたはBMと交わるABもまたCDと垂直である、という流れで問題ないのかな？とふと思いました。

    補足日時：2023/12/09 23:00

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/10 11:30

平面α上のすべての直線とLが垂直→これをPとします。

αとLは垂直である→こちらはQとします　
ネットで調べてみると
ある教科書には
PであることをQと言う
と書かれていてこれは定義ですよね
世間一般にも、αとLの垂直の定義として、これは通用していると思います。
だから、その意味ではあなたが考える命題の逆は自明なのではないでしょうか…

ただし、教科書に定義としては書かれてなくて、P→Qが成り立つ　というように命題の真偽しか載っていないなら
問答無用で
Q→Pとしてしまうのは怖いですよね
その状況では自分ならば
確実にいくために
Q→Pの証明を入れたいかな
と思います
(もっとも、ベクトルを習ってるなら
ベクトルで処理してしまうのが楽かなとは思いが…)
参考まで

この回答へのお礼

親切にお付き合い下さりありがとうございます。

ベクトルで証明してみます。

お礼日時：2023/12/10 11:54

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/10 11:34

断定してしまいましたが

訂正です

ネットで調べてみると
ある教科書には
PであることをQと言う
と書かれているようです…

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/09 23:45

直線Lと平面αが垂直

その定義は
Lがα上のどんな直線とも垂直である
的なことが教科書に書かれてませんか？
→平面ABМ垂直CD
ということはこの平面上のどんな直線ともCDは垂直
当然ABとも垂直

この回答へのお礼

度々ありがとうございます。

教科書を引っ張り出してきて読んでみましたが、hがαに垂直であるための十分条件として、α上のすべての直線に垂直であるならば、h⊥αである、とは確かに書いてあります。

ですが、質問文に書いたような命題もその直後に書いてありまして、無数にあるα上の直線とhの位置関係を調べるよりは、立体図形のように、何かしらの交わる複数の直線(辺)から出来ている平面では、そちらの方(平面上の交わる二直線とhとの位置関係が実用的ですよね？

なので、質問してます。

補足したように、平面ABMとCDが垂直であるのはわかりましたから、CDとねじれの位置にあるABM上の直線(辺)であるABとの位置関係が垂直であるのは、自明なのか、それとも何かしらの推論に基づくのか、という疑問で湧いたのが、質問文にある命題の逆は成り立つのか？ということです。

逆が成り立つのであれば、ABはAMともBMとも交わるので、すんなりと、AB⊥CDと言えそうだな、と思ったのですが、ちょっと考えすぎですかね？

因みに逆についての記述は教科書には書かれていませんでした。

どのように考えるのが妥当でしょうか？

お礼日時：2023/12/10 01:36

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/09 21:01

ねじれの位置であつても、

平行移動したら垂直になる２直線　は、垂直だと捉えるなら
逆も成り立つでしょう

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ちょっと深く考えすぎてたかもしれません。

お礼日時：2023/12/09 22:55

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/09 20:47

ねじれの位置と言う事を考えるなら、逆は必ずしも成り立たないとおもますよ

この回答へのお礼

捉え方次第でしょうか？

一度h⊥αが示せれば、逆の候補になる直線は無数にあるから、この場合逆の意義があまりないってことなのでしょうか。

お礼日時：2023/12/09 22:52