数bの問題 等差数列、等比数列

a,b,cは0ではないとする。数列a,b,cが等差数列であり、同時に等比数列であるときa=b=cであることを示せ。という問題がわかりません。教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/11 17:09

a,b,cは0ではないとする。

a,b,cが等差数列であるから
b-a=c-b
↓両辺にa+bを加えると
2b=a+c…(1)
↓両辺を2乗すると
4b^2=(a+c)^2=a^2+2ac+c^2…(2)

a,b,cが等比数列であるから
b/a=c/b
↓両辺にabをかけると
b^2=ac
↓これを(2)に代入すると
4ac=a^2+2ac+c^2
↓両辺から4acを引くと
0=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2
0=a-c
↓両辺にcを加えると
c=a…(3)
↓これを(1)に代入すると
2b=2a
↓両辺を2で割ると
b=a
↓これと(3)から
∴
a=b=c

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/11 17:44

「a,b,cは0ではないとする」という条件は要らないでしょう。

[A] 列a, b, cが等比列になっているとする。すなわち、公比rが存在して、
　　b = ra, c = r²a　　…(1)
である。また、
[B] 列a, b, cが等差列になっているとする。すなわち、公差dが存在して、
　　b = a + d, c = a + 2d　　…(2)
である。
　だから、a, r, dが
　　ra = a + d　　…(3)
　　r²a = a + 2d　　…(4)
という連立方程式を満たすことは、（[A]かつ{B]）が成り立つための必要条件である。
　さて、(3)を2倍して(4)を引けば
　　2ra - r²a = a
整理すると、
　　a(r - 1)² = 0
だから、解はa = 0かr=1だけである。

　そこで場合分けをする。
(i) a = 0の場合、公比rがいくらであろうと(1)によって a = b = c
(ii) r = 1の場合、aがいくらであろうと(1)によって a = b = c
　どちらの場合も、公差をd=0とすれば(2)を満たす。だから、a = b = c は（[A]かつ[B]）を満たすための必要十分条件である。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/11 17:07

a≠0とすると、a、b、cは等比数列なので、b=ar、c=rb(rは比例定数)

r≠1なら
c-b=(r-1)b=(r-1)ra
b-a=(r-1)a
(c-b)-(b-a)={(r-1)r-(r-1)}a=(r-1)^2・a≠0
なので等差数列では有りません。

r=1なら
c-b=b-a=0 で等差数列となり
この時
a=b=c

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/11 17:03

2b＝a+c…①…等差中項の関係式

b²＝ac…②…等比中項の関係式
①よりc＝2b-a…③を2へ代入
b²＝a(2b-a)
↔a²-2ab+b²＝0
↔(a-b)²＝0
↔a＝b
よって3から
c＝2b-a＝2b-b＝b
∴a＝b＝c

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/11 17:00

b-a=c-b → a+c=2b

　b/a=c/b → ac=b²
から
　(a+c)²=4ac → (a-c)²=0 → a=c
したがって
　a=b=c