No.5
- 回答日時:
「a,b,cは0ではないとする」という条件は要らないでしょう。
[A] 列a, b, cが等比列になっているとする。すなわち、公比rが存在して、
b = ra, c = r²a …(1)
である。また、
[B] 列a, b, cが等差列になっているとする。すなわち、公差dが存在して、
b = a + d, c = a + 2d …(2)
である。
だから、a, r, dが
ra = a + d …(3)
r²a = a + 2d …(4)
という連立方程式を満たすことは、([A]かつ{B])が成り立つための必要条件である。
さて、(3)を2倍して(4)を引けば
2ra - r²a = a
整理すると、
a(r - 1)² = 0
だから、解はa = 0かr=1だけである。
そこで場合分けをする。
(i) a = 0の場合、公比rがいくらであろうと(1)によって a = b = c
(ii) r = 1の場合、aがいくらであろうと(1)によって a = b = c
どちらの場合も、公差をd=0とすれば(2)を満たす。だから、a = b = c は([A]かつ[B])を満たすための必要十分条件である。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
a,b,cは0ではないとする。
a,b,cが等差数列であるから
b-a=c-b
↓両辺にa+bを加えると
2b=a+c…(1)
↓両辺を2乗すると
4b^2=(a+c)^2=a^2+2ac+c^2…(2)
a,b,cが等比数列であるから
b/a=c/b
↓両辺にabをかけると
b^2=ac
↓これを(2)に代入すると
4ac=a^2+2ac+c^2
↓両辺から4acを引くと
0=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2
0=a-c
↓両辺にcを加えると
c=a…(3)
↓これを(1)に代入すると
2b=2a
↓両辺を2で割ると
b=a
↓これと(3)から
∴
a=b=c
No.3
- 回答日時:
a≠0とすると、a、b、cは等比数列なので、b=ar、c=rb(rは比例定数)
r≠1なら
c-b=(r-1)b=(r-1)ra
b-a=(r-1)a
(c-b)-(b-a)={(r-1)r-(r-1)}a=(r-1)^2・a≠0
なので等差数列では有りません。
r=1なら
c-b=b-a=0 で等差数列となり
この時
a=b=c
No.2
- 回答日時:
2b=a+c…①…等差中項の関係式
b²=ac…②…等比中項の関係式
①よりc=2b-a…③を2へ代入
b²=a(2b-a)
↔a²-2ab+b²=0
↔(a-b)²=0
↔a=b
よって3から
c=2b-a=2b-b=b
∴a=b=c
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