高校数学 確率の問題です。

1からnまでの自然数を1つずつ書いたカードが合計n枚ある。これらから同時に3枚抜き出し、そのうちの最大数をXとする。Xの期待値をnで表す。

　X=kのとき、3枚選ぶ場合、1枚はkで他の2枚はkより小さい数字のk-1枚から選ぶから
　　P(X=k) = C(k-1,2)/C(n,3) = 6(k-1)(k-2)/n(n-1)(n-2)
　　E[X] = 6∑[k=3→n]k*(k-1)(k-2)/n(n-1)(n-2)
　　　　 = 6∑[k=3→n](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2)

　　∑[k=1→n]k = n(n+1)/2
　　∑[k=1→n]k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
　　∑[k=1→n]k^3 = (n(n+1)/2)^2

を利用して

　　∑[k=3→n](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2)

を計算するためには

　　∑[k=1→n](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2) - ∑[k=1→2](k^3-3k^2+2k)/n(n-1)(n-2)

でいいのでしょうか？

　めんどくさそうなので（笑）、もっと楽な方法があったら知りたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/20 10:54

C(k-1,2)=(k-1)!/{2!(k-3)!}=(k-1)(k-2)/2

C(n,3)=n!/{3!(n-3)!}=n(n-1)(n-2)/6
だから
C(k-1,2)/C(n,3)=6(k-1)(k-2)/n(n-1)(n-2)ではありません

P(X=k)
=C(k-1,2)/C(n,3)
={(k-1)(k-2)/2}/{n(n-1)(n-2)/6}
=3(k-1)(k-2)/{n(n-1)(n-2)}
です

E[X]
=3∑[k=3→n]k(k-1)(k-2)/{n(n-1)(n-2)}
↓j=k-2とすると
=3∑[j=1→n-2](j+2)(j+1)j/{n(n-1)(n-2)}
↓jをkに置き換えると
=3∑[k=1→n-2](k+2)(k+1)k/{n(n-1)(n-2)}
=3∑[k=1→n-2](k^3+3k^2+2k)/{n(n-1)(n-2)}
=(3∑[k=1→n-2]k^3+9∑[k=1→n-2]k^2+6∑[k=1→n-2]k)/{n(n-1)(n-2)}

∑[k=1→n-2]k = (n-2)(n-1)/2
∑[k=1→n-2]k^2 = (n-2)(n-1)(2n-3)/6
∑[k=1→n-2]k^3 = (n-2)^2(n-1)^2/4
だから

=3({(n-2)^2(n-1)^2/4}+(n-2)(n-1)(2n-3)/2+(n-2)(n-1))/{n(n-1)(n-2)}
=3{(n-2)(n-1)/4+(2n-3)/2+1}/n
=3{n^2-3n+2+2(2n-3)+4}/(4n)
=3(n^2-3n+2+4n-6+4)/(4n)
=3(n^2+n)/(4n)
=3(n+1)/4

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/02/20 15:59

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/20 21:39

P(X=k) と P(X≧k) って, どっちが計算簡単なんだろ. P(X≦k) でもいいけど.

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/02/20 07:54

Xの値が1からnまでの範囲であることを考えると、Xの期待値は各数がXになる確率をその数で重み付けして足し合わせたものです。

各数がXになる確率は、その数が3枚のカードの中に含まれる確率です。各数がカードに含まれる確率は、その数がカードに含まれる場合の数を、合計のカードの枚数で割ったものです。

合計のカードの枚数は1からnまでの自然数を合計すると、n*(n+1)/2 枚になります。各数がカードに含まれる場合の数は、その数を選ぶ組み合わせの数です。3枚のカードから最大の数を選ぶ組み合わせの数は、(n-1)C2 です。

したがって、Xの期待値は次のように計算できます。

Xの期待値 = Σ[各数i * (iが最大数になる確率)] (i = 1からnまで)

Xの期待値 = Σ[i * (i-1) * (i-2) / (n*(n+1)*(n-1)/6)] (i = 1からnまで)

これを計算して、nで表現してみましょう。

この回答へのお礼

すばやい回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/02/20 08:34