力学 重心に関する問題です。疑問点が３つあります。 問題 小物体が放された後、はじめて台に対して停止

力学 重心に関する問題です。疑問点が３つあります。
問題
小物体が放された後、はじめて台に対して停止するまでの間、床に対する台の変位の向きと大きさを表す式は？
なのですが、
解説には
水平方向の外力はないので、全体の重心は静止し、台と小物体は 2R だけずれる。運動量保存則より、重心から見た移動距離(速度)は質量と反比例するので、台の変位は左向きにm×2R/(m+M) = 2mR/(m+M)

と書いてました。

疑問点
①なんで２Ｒ
②なぜ左向き？
③なぜ反比例するのか？

できれば微積はなしでお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/21 10:23

>台と小物体は 2R だけずれる。

何がずれるのか書いてないけど、重心位置の差のことなんでしょうね。
それと、摩擦と空気抵抗が無いというのは、台と床間、小物体と台間
の全てなんだろうか？　書き方が微妙なんで困ります。

全て無いとして小物体が一度降りて反対側を駆け上って再び
同じ高さまで駆け上ることを前提にして解く問題とは思いますが
運動量とエネルギー保存の縛りで、小物体が一度台にエネルギーを渡して、
そのエネルギーが全て戻ってくることを厳密に示さないと
いけない気がします。

気にしないで解いちゃうこともできるけど、寝覚め悪そう。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/02/21 10:55

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/20 17:47

No.1 です。

ちょっと補足します。

「水平方向」だけに限定すれば、外力が働かないので「運動量」が保存し、
小物体の水平方向の速度を v、台の水平方向の速度を V （いずれも右向きを正）とすれば
　mv + MV = 0
ですから
　mv = -MV　　　①
となります。

もしこれが
　mv = -MV = k （一定値）
ということであれば「速度は質量に反比例する」といえますが、①は一定でなく変化しています。その和がゼロになるということです。

従って、①の関係は
　|v/V| = M/m
「相互の水平方向の速さの比は、質量の比の逆数になる」
とでもいうべきなのでしょう。
「移動量」はそれに時間をかけたもの（正確にいうと時間で積分したもの）なので
「水平方向の移動量の比は、質量の比の逆数になる」
ということになります。
一種の「てこの原理」みたいなものです。

この回答へのお礼

なるほど
確かにそうですね

お礼日時：2024/02/20 17:58

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/20 16:19

＞①なんで２Ｒ

ロスがないので力学的エネルギーが保存されれば、円形斜面の「左端」で放した小物体は「円の右端」まで行きますよね？
そのときの水平方向の移動量は 2R になるでしょ？


＞②なぜ左向き？

小物体が右向きに進んで、台と小物体の全体の重心が動かないなら、台は左に移動しないといけないよね？


＞③なぜ反比例するのか？

軽いものほど動きやすい、重いものほど動きにくいでしょ？
ただ、解説の「移動距離(速度)は質量と反比例する」は間違いで、「加速度が質量と反比例する」ということです。
運動方程式
　F = ma
から、「同じ力なら、質量と加速度は反比例する」ということです。
「作用反作用の法則」で、小物体が台を押せば、台も同じ力で小物体を押し返しますから、働く力は逆向きに同じ大きさです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。理解できました!!

お礼日時：2024/02/20 17:05