えこれわかるひといますか？

なんか私は直接面積をもとめようとしてもとまったけど変な不定形になって、扇形とはさみうちでやってもはさめることが言えないです。解法はなにがもとめられてるとおもいますか？？

質問者からの補足コメント

• 

  あ解析の大学数学の問題です。
  このあと重積分とかでてきますけど最初の誘導からわかりませ

    補足日時：2024/03/12 12:39

• 

  誘導はこういう感じでした

  
  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/17 13:29

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/12 02:33

あなたが何をどう考えてどこでどう困っているのかさっぱりわからんけど, 単純に力技でもなんとかなりそう.

[T(α)/α^2]^2 = T(α)^2/α^4 を考えた方がちょっと簡単?

この回答へのお礼

えなんでですか？？
あとそれって先に収束することをしめさないと同じになるって言えないから意味なくないですか？？

お礼日時：2024/03/12 12:38

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/12 16:35

その変な不定形から求めるしかないと思うけど....。

ことらでは極限値が（1/2)sin1　になりました。

この回答へのお礼

えですよね。1/2sin(sina/a)^2sin(a/sina)みたいになりました。

お礼日時：2024/03/16 14:03

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/12 17:27

Hと平面z=cosαの交線は

半径|AP|=|BP|=sinαの円
だから
sinα∠APB=(半径)∠APB=|弧AB|=α
sinα∠APB=α
∠APB=α/sinα
だから

N=(0,0,1)
A=(sinα,0,cosα)
B=(sinαcos(α/sinα),sinαsin(α/sinα),cosα)

|NA|^2=|NB|^2
=|AP|^2+|PN|^2
=(sinα)^2+(1-cosα)^2
=2-2cosα
=2(1-cosα)
=4{sin(α/2)}^2

|NA|=|NB|=2sin(α/2)
だから
△NABは2等辺3角形

|AB|
=√{(sinα)^2({1-cos(α/sinα)}^2+{sin(α/sinα)}^2)}
=√[(sinα)^2{2-2cos(α/sinα)}]
=√{(sinα)^2(2{1-cos(α/sinα)})}
=√{(sinα)^2(4(sin{α/(2sinα)})^2}
=2(sinα)sin{α/(2sinα)}

ABの中点をMとすると
|AM|=|AB|/2=(sinα)sin{α/(2sinα)}

△NABの底辺をABとしたときの高さは|NM|で

|NM|
=√{|NA|^2-|AM|^2}
=√{2(1-cosα)-{(sinα)^2}(sin{α/(2sinα)})^2}
=√{4{sin(α/2)}^2-4{sin(α/2)}^2{cos(α/2)}^2(sin{α/(2sinα)})^2}
=√(4{sin(α/2)}^2[1-{cos(α/2)}^2(sin{α/(2sinα)})^2])
=2sin(α/2)√([1-{cos(α/2)}^2(sin{α/(2sinα)})^2]

△NABの面積は

T(α)
=|AM||NM|
=2sin(α/2)(sinα)sin{α/(2sinα)}√([1-{cos(α/2)}^2(sin{α/(2sinα)})^2]
だから

lim_{α→0}T(α)/α^2
=lim_{α→0}2sin(α/2)(sinα)sin{α/(2sinα)}√([1-{cos(α/2)}^2(sin{α/(2sinα)})^2]/α^2
=lim_{α→0}[{sin(α/2)}/(α/2)]{(sinα)/α}sin{α/(2sinα)}√([1-{cos(α/2)}^2(sin{α/(2sinα)})^2]
=sin(1/2)√(1-{sin(1/2)}^2)
=sin(1/2)√{cos(1/2)}^2
=sin(1/2)cos(1/2)
=(1/2)sin(1)

この回答へのお礼

ありがとございます。そうやって直せつ求めるのがもとめられてるとおもいますか？５０分のテストでこの後かっこ５まであって重積分のテストが一番聞きたいところで（２）まででそんなに時間かけさせる意味なくないですか？？

お礼日時：2024/03/16 14:11

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/12 20:31

ごめん, あなたがなにをどう考えているのかさっぱりわかんないや.

自分の考えを詳らかにする気は毛頭ない?

この回答へのお礼

にほんごにがてですか？？？？

お礼日時：2024/03/16 19:02

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/12 21:21

∠APB=α/sinα

|NA|=|NB|=2sin(α/2)
|AB|=2(sinα)sin{α/(2sinα)}

△NABの面積
T(α)=(1/2)|AB|√(|NA|^2-|AB|^2/4)

この回答へのお礼

いつもtexでおこしてくれてありがとございます。ほんとにすごいわかりやすいです。

お礼日時：2024/03/16 14:13

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/13 13:32

図だとNABの斜線部分て曲面に見えるけど・・・

問いと図がマッチしていないのが気になる。
球冠で解くことを誘う引っ掛け？ 気色わる。

この回答へのお礼

えユークリッド幾何てきなNABを考えてると思います

お礼日時：2024/03/16 14:15

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/14 08:24

NP→0だと、曲面NABは三角形NABに漸近してゆくだろうから

曲面の面積でとくと
球冠の面積は 2π(1-cosα)だから
曲面NABの面積=(α/(2πsinα))・球冠の面積=α(1-cosα)/sinα

lim[α→0]曲面NABの面積/α^2=lim[α→0](1-cosα)/(αsinα)=1/2

う、他の方の答えと違うな。曲面NABで三角形NABを近似するのは駄目なんだろうか?

この回答へのお礼

だめだとおもいます。問題文に最初から三角形ってかいてあります。

お礼日時：2024/03/16 14:16

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/14 22:09

図で、∠APB＝φとすると

弧AB＝φsinα、弦AB＝2sinαsin(φ/2)　だから
弦AB/弧AB＝2sin(φ/2)/φ　
これはα→0でもこの比は2sin(φ/2)/φで変わらない。
今の問題の場合φ＝α/sinαでα→0のとき1に固定されるから
α→0で弦AB/弧AB→2sin(1/2)≠1だから
α→0で弦AB＝弧AB　とはいえない。
なのでα→0で曲面NABで三角形NABを近似はできないと思います。

この回答へのお礼

そですよね。なんかわたしはそれと下の三角形ではさめると思ったんですけど下界になることがいえなかったです。

お礼日時：2024/03/16 14:17

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/15 09:01

>これはα→0でもこの比は2sin(φ/2)/φで変わらない。

確かに。私のイメージが荒すぎました。
ありがとうございます。

この回答へのお礼

問題文にせんぶんってかいてあります!

お礼日時：2024/03/16 14:18

No.10 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/16 19:00

う～ん、T(α)はやはり直接i求めるしかないんだろうなぁ。

図を見ると、∠AON=∠BON＝α　だからOA=OB=ON=1とから
NA=NB=2sin(α/2）は直ちに出ます。
あとこの問題の意図は残りの設問（3）から（5）を見て
わかるかも（どうだろうなぁ？）。

この回答へのお礼

そですよね。syotaoさんはこういうの何分くらいでかけましたか？？こういうのていっぱいなれるしかないですか？

お礼日時：2024/03/17 13:28