数学A場合の数について。

数学について。
特定のものを固定すると、なぜこの問題でうまくいくのですか？ 円順列の時もですが、特定の一つを固定してそれ以外を一列に並べる順列になるという、固定する考え方がどういう意味があるのかよくわかりません。

簡単にいうと、固定する意味を教えてください。
固定に深い意味があるのでしょうが、その意味を意図を教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

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  だったら上にしようとは考えられません。
  上にしよう！となるその公式はとっぱらったほうがいいのでは？
  とりあえず何か仮定して、そこから論理的に決まってくることを具体的に考えてみる、つまり「試行錯誤してみる」ことが、数学の問題を解く上ではけっこう有力なやり方なのです。
  「公式にあてはめて、一発で答を出す」ことだけが数学ではないのです。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/29 01:48

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  結局は、試行錯誤すらしていないなりきり数遊びをしていただけに過ぎなかったのですね。
  とても興味深いですね。
  
  それはさておき、なぜ上にするのかをきちんと説明してください。
  
  「こうやるとうまく行くことが多い」というもので「定石」「セオリー」などと呼ばれます。
  
  であれば、なんで上面にするのかをきちんと教えてください。
  上面にして何がいいんですか？上面にする意味は？
  回転させて一致する意味は？
  回転させて一致する。だから上面に固定するということは全てを考えていることに過ぎないのでは？
  全ての色の通りを考えてから計算するのがセオリーでは？
  そしてなぜ上面に固定するという身勝手なことをするのがアリなのか。
  
  ぜひ教えてください。理解しているのであれば。先人たちの解法を暗記しているようでは。ですが。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/29 14:46

No.3 ベストアンサー 回答者： Zincer 回答日時： 2024/03/28 13:57

円順列の時にも当てはまりますが「立体を回転させて一致する塗り方は同じとする」というのが味噌です。

立体ではややこしいので、円順列で説明します。
ABCDの４つの円順列を考えましょう。
（とりあえず）Aを固定しておきます。
（一定方向に）次はB,C,Dのどれかなので３通り。
次は残りの２通り。
最後は一択なので、６通りになります。
最初に固定するのが４つあるので、４倍にしないと！
っと思うでしょうが、
Aを固定した時の「ABCD」とBを固定した時の「BCDA」は同じものとみなすので、４倍にしなくてよのです。
６面の立方体についても同じことが言えます。
どれか１つを決めてその他の面を塗り分けた立方体は、他のどれかを先に決めておいて塗分けたものを回転させることによって同じものが現われるのです。
１つ仮に固定した場合の数を数えることによって、全パターンを過不足なく数えることができます。
ただし、これが有効なのは「６色で６面を塗り分ける」のような全部使用するときのみです。
「７色で６面」のような使用しない色がある場合には、回転させても同じものにならないパターンが存在するので、最初にどの色を選ぶかの７倍をしなくてはいけません。
逆に（２）では色の数が足りないので、（隣り合わない）上下の色を先に決めて、それぞれの色に関して、側面を塗り分けるパターンの数に、最初に決める色の場合の数（＝５種類）をかけています。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/29 09:38

No.4 です。

＞上にしよう！となるその公式はとっぱらったほうがいいのでは？

なるほど。そういう思考パターンですか。
「上面を1つに固定する」というのは「方法論」であって「公式」ではありません。
「上にしよう！」というのは「選択肢のひとつ」ということです。
「そうすれば必ず答えが出る」というものではなく、「そう仮定したら、何かが見えて来るかもしれない」とトライしてみるということに過ぎません。
結果として無駄骨かもしれない。でも、それで答が見えてくればめっけもの、というものです。
だから「試行錯誤」「トライ・アンド・エラー」なのです。

参考書に載っているのは、先人たちがいろいろ試行錯誤して、「うまく行った方法」です。なので、参考書によって書きっぷりが違うと思いますよ。
「こうやるとうまく行くことが多い」というもので「定石」「セオリー」などと呼ばれます。

自分の将来を考えるとき、「とりあえず第1志望の大学に受かったとしよう！」とか、「万が一第1志望に落ちたとしたら」などと仮定して考えるのと同じです。そうすることで「次の選択肢」が見えてきます。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/28 15:20

No.1&2 です。

「立方体」なので、「サイコロ」を思い浮かべてください。
「１～６の目を、どう割り振るか」を考えるときに、「上の面は１～６の６通りある」といっても、さて他の面をどうしよう、という道筋は見えてきません。

だったら、「上の面を１にして考えよう」とすれば、側面の４面には「２～６のどれかを割り付ければよい」という方針が見えてきますよね。
そして、「サイコロは向かい合った面の数の合計が必ず７になる」ということを知っていれば、
「下の面は６で決まり、側面には２～５を割り振る」
ということが決まります。
さらに、側面の対向面には「２と５」「３と４」を割振ればよいことも決まります。

このように、「１つを決めれば、他が自動的に決まって来る」ことが多いのです。

もちろん、最初の「上面の数」を「６」にしても、「３」にしても、推論のしかたは同じです。
「１つを決める」ことをせずに「上の面は１～６の６通りある」としても、次に何も決まって来ませんね。
とりあえず何か仮定して、そこから論理的に決まってくることを具体的に考えてみる、つまり「試行錯誤してみる」ことが、数学の問題を解く上ではけっこう有力なやり方なのです。
「公式にあてはめて、一発で答を出す」ことだけが数学ではないのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/28 09:49

No.1 です。

あなたのように「上面の色を６通りにする」として、その次にどんなことしていきますか？
次にどうして、さらにどうして、そして最終的に答えに行き着けますか？

行き着ければその方法でもOKです。

解説を書いた人は、「いろいろな方法があるけど、この方法が一番分かりやすいだろう」と思って書いているだけです。
「これでもいいんじゃないか？」と思ったら、自分でやってみましょう。
そして、模範解説とどう違うか、どっちがよいかを比較検討してみる。
それが「数学に強くなる」一番よい方法です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/28 09:24

「まず、何でもよいから１つ選ぶ」ということです。

そうすれば「1つが固定、残りの選択肢が１つ減る」ということになります。

その上で、あとから「最初の１つの選び方にも何通りかある」ということで「何倍か」にすればよいわけです。
（そのときに、すでに数えたものと同じものがあるかどうかの吟味も必要です）

「考え方の筋道」ということであり、「いろいろな筋道があるが、その中のひとつ」と考えればよいです。
「その筋道しかありえない」というものではありません。